reflexion

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Angulos y Congruencia de Tri´ngulos
a
Laura Vielma
Enero 2011

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Angulos
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Angulo es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los dos
rayos son los lados del ´ngulo y el origen com´n es el v´rtice.
a
u
e
−
−
→ −
→
Para el gr´fico adjunto, AB y AC son los lados y A es el v´rtice del ´ngulo.
a
e
a
Se utiliza la siguiente notaci´n para el ´ngulo mostrado,donde siempre la letra del
o
a
v´rtice se encuentra en el medio: B AC, C AB, ∠BAC, ∠CAB. A veces se utiliza
e
ˆ
unicamente el v´rtice del ´ngulo para denotarlo, como por ejemplo, A o ∠A pero
´
e
a
esto no es muy recomendable porque puede generar confusi´n dependiendo el tipo
o
de problema que se tenga. En esta gu´ se trabajar´ con ∠ABC.
ıa
a

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Clasificaci´n de ´ngulos
o
a
Seclasifican los ´ngulos de acuerdo a su medida o a su posici´n con relaci´n a otros.
a
o
o
1. Por su medida: pueden ser nulo, llano o rectil´
ıneo, recto, agudo, obtuso, convexo, c´ncavo y de una vuelta.
o
´
Angulo nulo: mide 0◦ . Sus lados son dos rayos coincidentes.

´
Angulo llano o rectil´
ıneo: mide 180◦ . Sus lados son dos rayos opuestos.

−
− −
→
→
´
Angulo recto: mide lamitad de un angulo llano, 90◦ . Decimos que BA y CA son perpendiculares y escribimos
´
−
−
→ −→
−
BA ⊥ BC.

´
Angulo agudo: todo aquel que mide m´s de 0◦ y menos de 90◦ .
a
´
Angulo obtuso: todo aquel que mide m´s de 90◦ y menos de 180◦ .
a
´
Angulo convexo: cuya medida est´ comprendida entre 0◦ y 180◦ .
a
´
Angulo c´ncavo: si mide m´s de 180◦ y menos de 360◦ .
o
a
´
Angulo deuna vuelta: se genera al girar un rayo, una vuelta completa alrededor de su origen. Mide 360◦ .
2. Por su posici´n: se clasifica en consecutivos, adyacentes y opuestos por el v´rtice.
o
e
´
Angulos consecutivos: dos ´ngulos son consecutivos si tienen el mismo v´rtice, un lado com´n y los otros
a
e
u
lados en regiones distintas del com´n. Tres o m´s ´ngulos son consecutivos, si cada uno esconsecutivo con
u
a a
su inmediato.

En este caso, ∠COB es consecutivo del ∠BOD y ∠EP F, ∠F P G, ∠GP H son tres ´ngulos consecutivos.
a

´
Angulos adyacentes: denominado tambi´n, par lineal, son dos ´ngulos consecutivos cuyas medidas suman
e
a
180◦ .
´
Angulos sumplementarios: son dos ´ngulos cuyas medidas suman 180◦ .
a
´
Angulos complementarios: dos ´ngulos se llamancomplementarios si sus medidas suman 90◦ .
a
´
Angulos opuestos por el v´rtice: son dos ´ngulos, cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.
e
a

´
Angulos congruentes: Dos ´ngulos son congruentes si tienen igual medida. Usamos el s´
a
ımbolo ∼ para decir
=
que los ´ngulos son congruentes y usamos el s´
a
ımbolo = para decir que la medida de los ´ngulos son iguales.
a

Teoremas
1. Los´ngulos opuestos por el v´rtice son congruentes.
a
e

Demostraci´n:
o
El ∠CEA y el ∠AED forman un par lineal. De la misma forma, el ∠AED y el ∠DEB. Por tanto, se tiene que
∠CEA + ∠AED = 180◦ y ∠AED + ∠DEB = 180◦ . Restando miembro a miembro, se obtiene que ∠CEA −
∠DEB = 0◦ por lo que, ∠CEA = ∠DEB y entonces ∠CEA ∼ ∠DEB.
=
2. Todo ´ngulo agudo tiene complemento y suplemento.
aDemostraci´n:
o
Un ´ngulo agudo mide menos de 90◦ , sea su medida a. Por tanto, tiene un complemento cuya medida es 90 − a.
a
De igual forma, la medida de su ´ngulo sumada con la de un ´ngulo obtuso cuya medida es 180 − a es 180◦ , por
a
a
ello, tambi´n tiene un suplemento.
e
3. Los ´ngulos obtusos tienen s´lo suplemento.
a
o
Demostraci´n:
o
Un ´ngulo obtuso mide m´s de 90◦ , por tanto, como lamedida de un ´ngulo es un n´mero positivo no puede
a
a
a
u
tener complemento pero tiene un suplemento como en el caso anterior.
4. Los complementos de dos ´ngulos congruentes, son congruentes.
a
Demostraci´n:
o

Sea la medida de ∠BAC = α y ∠EDF = β. Entonces, α = β ya que los ´ngulos son congruentes seg´n hip´tesis.
a
u
o
De igual forma, α y β miden menos de 90◦ para poder tener...