Reggae

Funciones de varias variables
La temperatura T en un punto de la superficie de la Tierra en cualquier momento depende de la
longitud x y la latitud y la latitud y de un punto.
-

También podemos pensar en T como una función de las dos variables x y y, o como una
función del par (x, y).
Podemos indicar ésta dependencia funcional escribiendo: T = f(x, y).

El volumen V de un cilindrocircular depende de su radio r y su altura h.
-

De hecho, sabemos que V = πr2h.
Decimos que V es una función de r y h.
Escribimos V(r, h) = πr2h.

Una función f de dos variables es una regla que asigna para cada para ordenado de números reales
(x, y) en un conjunto D un único número real denotado por (x, y).
-

El conjunto D es el dominio de f.
Su rango es el conjunto de valores que ftoma, eso es, {f(x, y) | (x, y) ™ D}

Regularmente escribimos z = f(x, y) para hacer explícito el valor tomado por f en el punto general
(x, y).
-

Las variables x y y son variables independientes.
Z es la variable dependiente.

Una función de dos variables es justo una función cuyo:
-

Dominio es un subconjunto de P2.
Rango es un subconjunto de P.

Una manera de visualizar tal funciónes por medio de un diagrama de flechas, donde el dominio D
es representado como un subconjunto del plano – xy.

Si una función f es dada por una fórmula y ningún dominio es especificado, entonces el dominio de
f se entiende que:
-

El conjunto de todas las parejas (x, y) para los cuales la expresión dada es un número real
bien definido.

Límites y continuidad
En general, usamos lanotación:

Para indicar que:
-

Los valores de f(x, y) enfocan el número L como el punto (x, y) enfocando el punto a, b) a
lo largo de cualquier trayectoria que se mantiene en el dominio de f.

En otras palabras, podemos hacer los valores de f(x, y) tan cerca de L como queramos tomando el
punto (x, y) suficientemente cerca al punto (a, b), pero no igual a (a, b).
Dejemos f ser una función dedos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente
cercanos a (a, b).
Entonces, decimos que el límite de f(x, y) como (x, y) enfoca (a, b) es L.
Escribimos:

Si
-

Para cada número ԑ > 0, hay un número correspondiente δ > 0 tal que, si
entonces |f(x, y) – L| < ԑ.

Otras notaciones para el límite son:

Note que:
-

|f(x, y)-L| es la distancia entre los números f(x, y) y L.( x  a)2  ( y  b)2 Es la distancia en el punto (x, y) y el punto (a, b).

Derivadas Parciales
En general, si f es una función de dos variables x y y, supongamos que dejamos solo a x variar,
manteniendo fija a y, digamos y = b, donde b es una constante-

Entonces, estamos realmente considerando una función de una sola variable x: g(x) = f(x,
b.

Si g tiene una derivada en a, lollamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b).
Lo denotamos por: fx(a, b)
Por lo tanto, fx(a, b) = g’(a) donde g(x) = f(a, b).
Entonces, la Ecuación 1 se convierte:

f x (a, b)  lim
h 0

f (a  h, b)  f (a, b)
h

De manera similar, la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b), denotado por fy(a, b), es
obtenido por:
-

Manteniendo x fija (x = a).
Encontrando laderivada ordinaria de la función G(y) = f(a, y).

Por lo tanto,

f y (a, b)  lim
h 0

f ( a, b  h )  f ( a , b )
h

Si ahora dejamos el punto (a, b) variar en Ecuaciones 2 y 3, fx y fy se tornan en funciones de dos
variables.
Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy se define por:

f ( x  h, y )  f ( x, y )
h 0
h
f ( x, y  h ) f ( x, y )
f y ( x, y )  lim
h 0
h
f x ( x, y )  lim

Hay muchas notaciones alternativas para las derivadas parciales.
-

Por instancia, en vez de fx, podemos escribir f1 o D1f (para indicar la diferencia con
respecto a la primera variable) o ∂f/∂x.
Sin embargo, aquí, ∂f/∂x no puede ser interpretada como una relación de los
diferenciales.

Si z = f(x, y), escribimos:

f x (...