regiones naturales

Cuadernillo de
Apuntes de
Matemáticas III

M. en C.Luis Ignacio
Sandoval Paéz

1

Índice
Página
Unidad I vectores

2

3

3

1.1 Definición de un vector en R , R (Interpretación geométrica), y su
n

generalización en R .
1.2 Operaciones con vectores y sus propiedades.
1.3 Producto escalar y vectorial.
1.4 Productos triples (escalar y vectorial)
1.5 Aplicaciones físicas ygeométricas de los productos escalares y
vectoriales.
Unidad II
Curvas
planas,
ecuaciones
paramétricas
y
coordenadas polares.
2.1Curvas planas y ecuaciones paramétricas.
2.2 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su
representación gráfica.
2.3 Derivada de una función dada paramétricamente.
2.4 Longitud de arco en forma paramétrica.
2.5 Coordenadas polares.
2.6 Gráficas deecuaciones polares.
Unidad III

Funciones vectorial
variable real

de

una

3.1 Definición de función vectorial de una variable real, dominio y
graficación.
3.2 Límites y continuidad.
3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
3.4 Integración de funciones vectoriales.
3.5 Longitud de arco.
3.6 Vector tangente, normal y binorma.
3.7 Curvatura.
3.8 Aplicaciones.
UnidadFunciones
de
IV
varias variables
4.1 Definición de una función de dos variables.
4.2 Gráfica de una función de dos variables.
4.3 Curvas y superficies de nivel.
4.4 Límites y continuidad.
4.5 Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables,
así como su interpretación geométrica.
4.6 Derivadas parciales de orden superior
4.7 Incrementos, diferenciales y regla de lacadena.
4.8 Derivación parcial implícita.
4.9 Coordenadas cilíndricas y esféricas.
4.10 Derivada direccional, gradiente divergencia y rotacional.
4.11 Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales.
Unidad V Integrales múltiples.
5.1 Integrales iteradas.
5.2 Definición de integral doble: Áreas y Volúmenes.
Referencias

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9
9
9
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28
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31
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38
38
40
42
46
46
47
50
55
64
67
72
77
80
90
103
112
112
113

117

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Unidad I vectores

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1.1 Definición de un vector en R , R (Interpretación geométrica), y su generalización en
n

R.

Magnitudes físicas
Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un
número expresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo demagnitud son: la masa m, volumen V, temperatura T, longitud de onda λ,
potencial eléctrico V, etc. A estas magnitudes se les denomina magnitudes
escalares. Sin embargo, para describir adecuadamente ciertos sistemas físicos,
deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un
escalar (número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman
magnitudesvectoriales y en los textos se representan mediante una letra con

una flecha encima, o bien en negrita. Por ejemplo, la velocidad v (o v), la
fuerza F, campo magnético B, etc. Vamos a ocuparnos de definir estas últimas
y recordar las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo con ellas.
Definición de vector
Un vector es un ente matemático que representa una magnitud vectorial.
Geométricamentees un segmento de recta orientado, es decir, una flecha. En
tres dimensiones, se necesitan tres parámetros para definirlos; en dos
dimensiones este número se reduce a dos. Estos parámetros pueden ser
representados de distintas maneras, pero siempre tiene que haber un modo de
pasar de una representación a otra, como veremos a continuación. En primer
lugar es necesario definir un sistema de ejesperpendiculares entre sí: XYZ en
3 dimensiones ó XY en 2 dimensiones (ver figura).


Si v representa una magnitud vectorial, llamamos módulo de v ( v o bien
simplemente v, a la longitud de la flecha que la representa. El módulo debe ser

siempre una cantidad positiva. Para completar la definición del vector es
preciso indicar la dirección de la flecha. Suele darse indicando el ángulo...