Regla De Bayes

La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurriódespués. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.
Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto es
Ai Aj =  ,y . Entonces para cualquierevento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) +  + P(Ak)P(B/Ak)
Demostración: Considérese el siguiente diagrama

P(B) = P(B S)
= P[B (A1  A2    Ak )]
=P[(B A1) (B A2)   (B Ak )] (unión de eventos mutuamente excluyentes)
= P(B A1) + P(B A2) + +P(B Ak) (por el axioma 3)
= P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+  +P(Ak)P(B/Ak) (por ecuación [3.3])
= 
 Proposición 3.9: (REGLA DE BAYES)
Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S y B un evento cualquiera en S. Entonces

Demostración: Por la proposición 3.8,  [3.6]
Por la definición de probabilidadcondicional se tiene
 [3.7]
 [3.8]
Igualando [3.7] y [3.8], y despejando P(Ai/B) se tiene
 [3.9]
Sustituyendo [3.6] en [3.9] se llega a la fórmula deseada

Corolario:
Si A y AC son unapartición de S y B es un evento cualquiera de S, entonces

Ejemplo 31: Un ingeniero químico sabe que cuando se compran etiquetas a un proveedor A, el número de etiquetas defectuosas y nodefectuosas están en la relación 1:24; mientras que el proveedor B afirma que la probabilidad de encontrar una etiqueta no defectuosa en su compañía es de 9/10. Si se compra la misma cantidad deetiquetas a ambos proveedores:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que si se encontró una defectuosa, ésta sea del proveedor B?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor A, si seencontró que no es defectuosa?
Solución: Sea D el evento de que la etiqueta sea defectuosa y DC que no lo sea. Entonces por el corolario anterior se tiene:

Visto en un diagrama de...