Regla de cadena

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,



y z = g(y) es otrafunción derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,



entonces la función compuestadefinida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene




Ejemplo:cálculo de derivadas
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Calcular la derivada de la función h(x) = senx2.

Resolución:

· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.





· Al ser g(x) = sen x, g'(x)= cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2



· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2



Resolución:· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,



· Por la regla de la cadena,Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuvieseuna función u(x), la derivada de u(x)m



aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 ·u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,




Ejercicio: cálculo de derivadas...