regla de camer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabíadel método desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que puedenimplicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si \mathbf{Ax} = \mathbf{b} es un sistema de ecuaciones. \mathbf{A} es la matriz de coeficientes del sistema, \mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) es el vector columna de las incógnitas y \mathbf{b} es elvector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

x_j =
\cfrac {
\det(\mathbf{A}_j)
}{
\det(\mathbf{A})
}
donde \mathbf{A}_j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de \mathbf{A} por el vector columna \mathbf{b}. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de lamatriz \mathbf{A} ha de ser no nulo.
Índice [ocultar]
1 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
1.1 Ejemplo
2 Sistema de 3x3
2.1 Ejemplo
3 Demostración
4 Referencias
5 Véase también
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas[editar]
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
a{\color{blue}x}+b{\color{blue}y} ={\color{red}e}\,
c{\color{blue}x}+d{\color{blue}y} = {\color{red}f}\,
Lo representamos en forma de matrices:

\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{blue}x} \\
{\color{blue}y}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
{\color{red}e} \\
{\color{red}f}
\end{bmatrix}
Entonces, x e y pueden ser encontradas con laregla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

x =
\frac {
\begin{vmatrix}
\color{red}{e} & b \\
\color{red}{f} & d
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
} =
\frac{
{\color{red} e } d - b {\color{red} f }
}{
ad - bc
}; \quad
y =\frac {
\begin{vmatrix}
a & \color{red}{e} \\
c & \color{red}{f}
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
} =
\frac{
a{\color{red} f } - {\color{red} e } c
}{
ad - bc
}
Ejemplo[editar]
Ejemplo de la resolución de un sistema simple de 2x2:
Dado
3x+1y = 9\,
2x+3y = 13\,que matricialmente es:
\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 \\ 13 \end{bmatrix}
x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer
x = \frac { \begin{vmatrix} 9 & 1 \\ 13 & 3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 9*3 - 1*13 \over 3*3 - 1*2} = 2
y = \frac { \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 2 & 13\end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 3*13 - 9*2 \over 3*3 - 1*2} = 3
Sistema de 3x3[editar]
La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

\begin{cases}
a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{black}j}\\
d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{black}k}\\
g{\color{blue}x} +...