Regla de cramer

Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3 Aplicaciones
Tema 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales:
regla de Cramer
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superiror deIngeniería Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3

1

Regla de Cramer

1.1

Descripción del método

Un sistema de m ecuaciones linealescon n
cribirse matricialmente en la forma
⎛
⎞⎛
a11 a12 · · · a1n
⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜
⎜
⎟⎜
⎜ .
⎟⎜
.
.. .
.
⎝ .
⎠⎝
. .
.
.
.
am1 am2 · · · amn

o de forma abreviada

incógnitasx1 , . . . , xn , puede esx1
x2
.
.
.
xn

⎞

⎛

⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟=⎜
⎠ ⎝

b1
b2
.
.
.
bm

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Ax = b.
donde:
• A es la matriz de coeficientes.
• x es un vector columna deincógnitas.
• b es un vector columna de términos independientes.
El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese
caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.1

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única.
Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si
∆ = det A 6= 0.
En ese caso, definimos la matriz Ajcomo la que se obtiene a partir de A
sustituyendo la columna j por el vector b, esto es, si cj es la columna j de
A,
⎞
⎛
a1j
⎜ a2j ⎟
⎟
⎜
A = (c1 , c2 , . . . , cn ) ,
cj = ⎜ . ⎟ ,
⎝ . ⎠
.anj

entonces la matriz Aj tiene la siguiente estructura

Aj = (c1 , c2 , . . . , cj−1 , b, cj+1 , . . . , cn ) .
Representamos por ∆j el determinante de Aj
∆j = det Aj = det (c1 , c2 , . . . ,cj−1 , b, cj+1 , . . . , cn ) .
Entonces la solución del sistema viene dado por la denominada regla de
Cramer
∆1
∆2
∆n
, x2 =
, . . . , xn =
.
x1 =
∆
∆
∆

Ejemplo 1.1 Notación matricialy regla de Cramer.
Tomemos por ejemplo el sistema
⎧
⎨ 2x1 + 3x2 + x3 = 3,
x − x2 + x3 = 5,
⎩ 1
x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
2 3 1
3
x1
⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 5...