Regla de la cadena - máximos y mínimos

Universidad Diego Portales
Facultad de Ciencias de la Salud
Tecnología Médica

Regla de la cadena

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si [pic]es diferenciable en [pic]y [pic]es una función diferenciable en [pic], entonces la función compuesta [pic]es diferenciable en [pic]y
[pic]

Notación de LeibnizAlternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
[pic]
donde [pic]indica que f depende de g como si ésta fuera una variable.

Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función que se indica aplicando la regla de la cadena:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

S o l u c i o n e s

 [pic][pic]
[pic] [pic][pic]
[pic]

 [pic][pic]
[pic]

 [pic][pic]
[pic]

 [pic][pic]
[pic]

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Funciones crecientes y decrecientes

Definición:
Se dice que una función [pic]es creciente en un cierto intervalo del eje x si sobre este intervalo [pic] implica que [pic].
Análogamente, se dice que la función es decreciente si [pic] implica que [pic].
Es importante notar que:
[pic] escreciente sobre cualquier intervalo en el que [pic].
[pic] es decreciente sobre cualquier intervalo en el que [pic].
Ejemplo:
1. Determine los intervalos en los cuales la función es creciente y aquellos en los que es decreciente.
(a) [pic].

Solución:
Derivamos la función [pic].
Obtenemos [pic].
La función es creciente en el intervalo en el que [pic]. Esdecir en el intervalo [pic].
La función es decreciente en el intervalo en el que [pic]. Es decir en el intervalo [pic].
(b) [pic].
Solución:
Derivamos la función [pic].
Obtenemos [pic].
La función es creciente en el intervalo en el que [pic] [pic] [pic][pic]. Es decir en todo IR.
Verificación gráfica con Maple.
> f:=x^3-3*x^2+3*x-1;
>plot(f,x=-3..4,y=-30..30);

[pic]

(c) [pic].
Solución:
Derivamos la función [pic].
Obtenemos [pic].
La función es creciente en el intervalo en el que [pic] [pic]. Es decir, en el intervalo [pic], como muestra el esquema siguiente.

La función es decreciente en el intervalo en el que [pic]. Es decir, en el intervalo [pic].

APLICACIONES A LASCIENCIAS MÉDICAS

1) MONONUCLEOSIS INFECCIOSA

En un colegio el porcentaje de estudiantes que sufre de mononucleosis t días después del primer caso reportado está dado por :

[pic]

a) Ingrese la fórmula a la calculadora y conjeture que ocurre después de muchos días. Demuestre matemáticamente que su conjetura es correcta.
b) Con el gráfico en pantalla use G-Solv y MAX paradeterminar a los cuantos días después de haber reportado el primer caso el porcentaje de estudiantes que sufre de mononucleosis es máximo y determine cuál es ese porcentaje máximo. Demuestre a continuación en forma matemática que sus observaciones hechas por la calculadora son correctas.

2) CAMBIO DE TEMPERATURA EN UN PACIENTE Y SENSIBILIDAD

El cambio de temperatura T en un paciente,generado por una dosis D de un medicamento está dado por:
[pic]
a) Usando su calculadora determine qué dosis lleva al máximo el cambio de temperatura. Bosqueje un gráfico consistente con la situación.
b) Usando derivadas determine si el máximo dado por la calculadora es correcto
c) La sensibilidad del cuerpo al medicamento, con la dosis D, está definida por [pic]. Determine, sin uso de lacalculadora, la dosis que lleva al máximo la sensibilidad si el cambio de temperatura T viene dado por [pic]. Compruebe el resultado con la calculadora.

3) PRODUCCION DE CELULAS SANGUINEAS

En 1977, A,Lasota desarrolló un modelo para la producción de células sanguíneas que incluye la función de producción exponencial :
[pic]
donde A, s y r son constantes...