Regla De La Cadena

Libro: Matemáticas para administración y economía
Autor: S.T. Tan

Regla de la Cadena

Esta sección presenta otra regla de derivación llamada regla de la cadena. Al utilizarse con las reglas de derivación desarrolladas en las dos últimas secciones, la regla de la cadena permite extender en gran medida la clase de funciones que se pueden derivar.
La regla de la cadena es una fórmula para laderivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a umultiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

* Regla de la Cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°g es derivable en a y se verifica:
(f°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)
Considere la función h(x) = (x²+x+1)². Si se calcula h’(x) con las reglas dediferenciación de las secciones anteriores, entonces habría que desarrollar h(x).
Así,
h (x) = (x² + x + 1)² = (x² + x + 1)
= x^4 + 2³ + 3x² + 2x 1
Donde vemos que
h’ (x) 4x³ + 6x² + 2

Pero ¿Qué ocurre con la función H(x) = (x² + x + 1)¹ºº? A un que se puede utilizar la misma técnica para hallar la derivada de la función H. ¡la cantidad de trabajo en este caso seria prodigiosa!Considérese también la función G(x) = = x2+1.
Para cada una de las funciones H Y G no es posible aplicar las reglas de derivación de las selecciones anteriores en forma directa para calcular las derivadas H’ y G’.
Nótese que H y G son composición de funciones; es decir, cada una está compuesta, o construida, a partir de funciones más sencillas. Por ejemplo, la función H está compuesta por dosfunciones más sencillas. ƒ(x) = x² + x + 1 y g(x) = x¹ºº como sigue:
H(x) = g [ƒ(x)] = [ƒ(x)]¹ºº
= (x² + x + 1)¹ºº

De manera analógica, se ve que la función G está formada por las dos funciones más sencillas ƒ(x) = x² + 1 y g(x) = x Así.

G(x) = g [ƒ(x)] = ƒ(x)
= x2+1

Como un primer paso para hallar la derivada h’ de una composición h = g f
definida por h(x) = g[ƒ(x)], se escribe
u= ƒ(x) y y = g[ƒ(x)] = g(u)
L a dependencia de h en relación con g y f se ilustra en la figura 8.44. Puesto que u es una función de x, se puede calcular la derivada de u con respecto de x, si ƒ, es una función diferenciable, para obtener du/dx = ƒ’(x). A continuación, si g es una función diferenciable de u, se puede calcular la derivada de g con respecto de u paraobtener dy/du = g’ (u). Ahora, como la función h está compuesta por las funciones g y ƒ, se pensaría que la regla h’(x) para la derivada h’ de h estaría dada por una expresión que abarque la regla para las derivadas de ƒ y g. Pero, ¿Cómo combinar estas derivadas para obtener h’?

H = g[ƒ]

x Ƒ(x) = uy = g(u) = g[ƒ(x)]
Esta pregunta se puede contestar interpretando la derivada de cada función como algo que proporciona la razón de cambio de esta función; por ejemplo, supóngase que u = ƒ(x) cambia tres veces más rápido que x; es decir,
Ƒ’ (x) =dudx = 3
Y supóngase que y = g(u) cambia dos veces más rápido que u; es decir,
g’ u=dydu= 2
Entonces, es de esperar que y = h(x)cambie seis veces más rápido que x; es decir,
h’(x) =g’(u)ƒ’(x) =(2)(3) = 6

o en forma equivalente,
dydx=dydu·dudx =23=6
Esta observación sugiere el siguiente resultado, que establecemos sin demostración.
Regla 7: La regla de la cadenaSi h(x) = g[ƒ(x)], entonces
h'x=ddxgƒx=g'ƒxƒ'x (10)
En la forma equivalente, si escribimos y=...