Regla de la cadena

En consecuencia para derivar este tipo de funciones se debe derivar las dos funciones, la función interna g y la función externa f, por medio de la regla de la cadena la cual se enuncia acontinuación:
Regla de la cadena
Si y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, entonces su composición fog=f(g(x)) es una función derivable y su derivada viene dada por:
(fog)’ = f’(g(x)) . g’(x)Regla de la cadena en notación de Leibniz
Si y=f(t) , y además t=g(x) son dos funciones diferenciables, entonces:



Observaciones:
En ambos caso se está expresando la derivada de la mismafunción. En el primero, la función compuesta ya está dada en términos de la variable independiente x, mientras que en el segundo, la variable y depende de t, y a su vez t depende de la variableindependiente x, pero se trata de la misma función porque al sustituir t, se obtiene f(g(x)).
La composición se puede hacer con dos o más funciones, la regla se aplica del mismo modo hasta derivar lafunción más interna de todas.
Ejemplos:
1. Derive la siguiente función
Derivada
Planificación y argumentación al derivar
Derivo:

Ordenando:


Antes de derivar:
Estudio las características de lafunción, para ello me pregunto:
¿se puede escribir de otra forma? No
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí , ,
¿cuál es la externa?
¿cuál es la interna?Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la derivada de la interna”
derivo la función externa manteniendola interna: cos(x3)
derivada de la interna: 3x2
multiplico: cos(x3). 3x2
Después de derivar:
¿Puedo hacer alguna simplificación? No
¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, usandoidentidades trigonométricas, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, pues sólo pide derivar.
¿Está bien derivado? Sí




Ejemplo
Derive la siguiente función ,
Observo que y es función de...