Regla de la Cadena

Regla de la cadena.
Derivada de una función compuesta.
Sea 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Considerando que 𝑔(𝑥) = 𝑢 y

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑓(𝑢) y que

𝑑𝑢

y

𝑑𝑢
𝑑𝑥

existen.

Entonces 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))tiene derivada y es:
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
⋅
𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
= 𝑓 ′ (𝑢) ∙ 𝑔′ (𝑥)
= 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥)
Algunos ejercicios resueltos simples.http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/derivada_funcioncompuesta_regladelacadena.ht
m

Ejercicios Regla de la cadena.
1. 𝑦 = (3𝑥 + 1)3
2. 𝑦 = √13𝑥 2 − 5𝑥 + 8
3. 𝑦 = (1 − 4𝑥 + 7𝑥 5 )30
1

4. 𝑦 = (4𝑥 + 𝑥 −5 )3
8𝑥−𝑥 6

5. 𝑦 = (

𝑥3

−

)

4
56. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
2
7. 𝑦 = 𝑒 5𝑥 +7𝑥−13
8. 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑥2

4

9
5

𝑦′ = ( 5) ∙
5 8−𝑥

(3𝑥 5 +16)
𝑥3

3

=

4𝑥 5 (3𝑥 5 +16)

𝑦′ = 5cos(5𝑥)
2
𝑦′ = 𝑒 (5𝑥 +7𝑥−13) (10𝑥 + 7)
1
𝑦′ =−2 𝑐𝑜𝑡𝑥 ∙ 𝑙𝑛(2) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑐 2 (𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑡𝑥 ∙ 𝑙𝑛 ( ) csc2 (𝑥)
2

3𝑠𝑒𝑐 2 √ 𝑥

9. 𝑦 = 3𝑡𝑎𝑛√ 𝑥

𝑦′ =

10. 𝑦 = 𝑙𝑛(17 − 𝑥)

𝑦′ =

11. 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(4 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑦′ = −

12. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 3 )
1
13. 𝑦 =( ) ∙ 𝑠𝑒𝑐 −4 (4 + 𝑥 3 )

𝑦′ = −6𝑥 cos(𝑥 )𝑠𝑒𝑛(𝑥 3 )

5

9

5(8−𝑥 5 )5

2√ 𝑥
1
𝑥−17

𝑠𝑒𝑛𝑥

(4+𝑐𝑜𝑠𝑥)ln(10)
2
3

𝑦′ = − (

12 2
) 𝑥 𝑠𝑒𝑐 −5 (4 + 𝑥 3 ) sec(4 + 𝑥 3 ) tan(4 + 𝑥 3 )5

14. 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 5 (3𝑥 4 ))

𝑦′ = −
′

15. 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛(7𝑥 + ln(5𝑥)))
16. 𝑦 = 10(1 + (2 − (6 + 7𝑥

𝑦 =
4 )9 )3 )5

60𝑥 3 cos4 (3𝑥 4 )𝑠𝑒𝑛(3𝑥 4 )
𝑐𝑜𝑠 5 (3𝑥 4 )

1
𝑥

𝑐𝑜𝑠(7𝑥+ln(5𝑥))(7+ )2√𝑠𝑒𝑛(7𝑥+ln(5𝑥)))

𝑦 ′ = −37800𝑥 3 (1 + (2 − (6 + 7𝑥 4 )9 )3 )4 (2 − (6 + 7𝑥 4 )9 )2 (6 + 7𝑥 4 )8
𝑦′ =

17. 𝑦 = 4ln(ln(ln(𝑠𝑒𝑐𝑥)))
18. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛3 √cot(7𝑥)

𝑦′ = −

4 sec(𝑥)tan(𝑥)(ln(ln(𝑠𝑒𝑐𝑥))(𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑐𝑥))(𝑠𝑒𝑐𝑥)
21𝑡𝑎𝑛2 √cot(7𝑥)
2√cot(7𝑥)

𝑐𝑠𝑐(7𝑥)

19. Suponga que ℎ (𝑥) = 𝑓 (𝑔 (𝑥)), donde tanto f y g son funciones
diferenciables.
Si 𝑔 (−1) = 2, 𝑔 ′(−1) = 3, 𝑦 𝑓 ′ (2) = − 4, lo que es el valorde ℎ ′(−1)?
3

20. Suponga que ℎ(𝑥) = (𝑓(𝑥)) , Donde f es una función diferenciable.
1
8
Si 𝑓(0) = − y 𝑓´(0) = , Determinar una ecuación de la recta tangente a la
2

gráfica de...