Regla De La Cadena

1.2.2 REGLA DE LA CADENA
Las reglas de la derivación presentadas en las secciones anteriores se pueden usar
solamente para sumar, restar productos y cocientes de expresiones de la forma xdonde
n es un número entero .
2 3
(x +1)
Es claro que Dx
2 3
(x +1)
Si cambiamos la forma de la expresión, entonces;
( 1) 3 3 1
2 3 6 4 2
y = x + = x + x + x + y Dxy = 6x
5+ 12x
3
+ 6x ,
factorizando Dxy = 6x (x
2
+ 1)
2
Por lo tanto Dxy (x
2
+ 1)
3
= 6x (x
2
+ 1)
2
Este desarrollo es muy complicado para potencias mayorescomo por ejemplo
2 10
(x +1)
entonces es conveniente tener métodos más sencillos para calcular la derivada.
El que se usa en este caso parte de expresar una función de x , recordando que sif y g
son funciones tales que:
y = f (u) (1) u = g(x) (2)
Ahora bien si g (x) esta en el dominio de f entonces la podemos escribir y = f(u) = f [g(x)]
es decir, y es una función dex, esto último es la función compuesta f ó g, podemos notar
que la expresión
2 3
y = (x +1) puede expresarse de la manera siguiente.
y = u
3
y u = x
2
+ 1Si se pudiera encontrar una regla general para derivar f [g(x)], entonces se podría aplicar
a y =
2 3
(x +1) como caso especial y también a cualquier expresión de la formay = [f(x)
n
] donde n debe ser un número entero.
Para dar una idea de tipo de regla esperada regresemos a las ecuaciones 1 y 2 y = f(u),
u = g(x) queremos encontrar una fórmula para laderivada dy/dx de la función
compuesta dada por y = f [g(x)] . Si f y g son derivables, entonces utilizando la notación
de las diferenciables tenemos 43
'( ) g'(x)
dx
du
f u y
dxdy
= =
Considerando como producto
dx
du

du
dy
⋅
y tratando las derivadas como cocientes diferenciables llegamos a la siguiente regla.
f '(u) g '(x)
dx
du...