Regla de la cadena

Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuandoexistecomposición de funciones.
Descripción de la regla[
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambiode y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
Entérminos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en , entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

Notación deLeibniz[
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde  indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de lacadena
Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre  (esta demostración solo vale cuando  es distinto de cero ,por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)


 CQD(Como Quería Demostrarse)

Ejemplo conceptual
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a lacual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, larazón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico
Por ejemplo si  es una función derivable de  y siademás  es una función derivable de  entonces  es una función derivable con:

o también

Ejemplo 1


y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como función de...