Regla de LHopital 2

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia

PAIEP
Universidad de Santiago de Chile

Regla de L’Hˆ
opital
f (x)
cuando f (a) = g(a) = 0, pueden evaluarse utilizando el teorema que
g(x)
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
.
plantea, que si adem´as f (x) y g(x) son funciones derivables, entonces lim
x→a g (x)
x→a g(x)
Los l´ımites de la forma lim

x→a

Ejemplo 1 Considere las siguientes situaciones:
a)lim

x→1

ln(x)
.
x−1

Si tratamos de calcularlo evaluando de forma directa obtenemos lim

x→1

indeterminada.

ln(x)
ln 1
0
=
=
una forma
x−1
1−1
0

Tenemos que f (x) = ln (x) es derivable en cualquier intervalo (a, b) con 0 < a < 1 y g(x) = x − 1 es
derivable en todo R, con g ′ (x) = 1 = 0 para todo x ∈ R.
1
ln (x)
(ln (x))′
x
=
lim
= lim
=1
x→1 1
x→1 x − 1
x→1 (x − 1)′

Luego, por la regla deL’Hˆ
opital, tenemos que lim
b) limπ
x→ 2

ln (sin (x))
.
(π − 2x)2

Si evaluamos el l´ımite obtenemos limπ
x→ 2

ln (sin ( π2 ))
ln (1)
0
ln (sin (x))
=
=
= .
2
(π − 2x)
(π − 2 π2 )2
0
0

Una forma indeterminada. Aplicamos L’Hˆ
opital considerando f (x) = ln (sin (x)) y g(x) = (π − 2x)2 .
Luego f ′ (x) = cot (x), g ′ (x) = −4(π − 2x), as´ı
limπ

x→ 2

cot ( π2 )
ln (sin (x))
cot (x)
0
= .
= limπ
=
22
x→ 2 −4(π − 2x)
(π − 2x)
−4(π − 2 π2 )
0

Nuevamente da una forma indeterminada. Como f ′ y g ′ son derivables, podemos volver a aplicar la regla
de L’Hˆ
opital, f ′′ (x) = − csc2 (x), g ′′ (x) = 8, luego
limπ

x→ 2

csc2 ( π2 )
ln (sin (x))
cot (x)
− csc2 (x)
1
= limπ
= limπ
=
= .
2
x→ 2 −4(π − 2x)
x→ 2
(π − 2x)
8
8
8

As´ı, aplicando la regla de L’Hˆ
opital dos veces concluimos que
limπ

x→ 21
ln (sin (x))
= .
2
(π − 2x)
8

Material
wordcreado por el ´
area de Matem´
atica PAIEP 1

tan(x)
0
, es de la forma indeterminada .
x
0
2
1
tan(x)
sec (x)
1
Luego, lim
= lim
= lim
= =1
x→0
x→0
x→0 cos2 (x)
x
x
1

c) lim

x→0

x2 − 16
0
2x
, es de la forma . Luego, lim
=8
x→4 x − 4
x→4 1
0

d) lim

ex + x · ex
x · ex
=
lim
= −1
x→0
x→0 1 − ex
−ex

e) lim

Lo anterior es por la aplicaci´on delteorema que indica que el c´
alculo del l´ımite se puede realizar, en forma
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
reiterada, en el entendido que lim
= lim ′
= lim ′′
= . . . existan o no.
x→a g(x)
x→a g (x)
x→a g (x)
∞
.
Situaci´on similar para aquellas expresiones, que tienen formas indeterminadas
∞
Ejemplo 2 Considere las siguientes situaciones:
ln (sin (x))
x→0
cot (x)
Si evaluamos directamente, nos queda

a)lim

ln (sin (0))
ln(0)
−∞
ln (sin (x))
=
=
=
.
x→0
cot (x)
cot (0)
∞
∞
lim

A esta forma indeterminada le podemos aplicar de forma directa la regla de L’Hˆ
opital, luego
cot (x)
(ln (sin (x)))′
ln (sin (x))
= lim
= lim
= lim − cos(x) sin(x) = − cos(0) sin(0) = 0.
x→0 − csc2 (x)
x→0
x→0
x→0
cot (x)
(cot (x))′
lim

b)

lim

x→+∞

x
∞
, es de la forma
. Luego, aplicando L’Hˆ
opital se tiene
x
e
∞lim

x→+∞

x
1
1
= lim x =
=0
x
x→+∞
e
e
∞

2
6x2 − 12x − 1
12x − 12
12
2x3 − 6x2 − x
= lim
= lim
= lim
= .
3
x→∞
x→∞
x→∞ 18
x→∞
3x − 6x
9x2 − 6
18x
3

c) lim
d)

5+
5x + 2lnx
= lim
x→+∞ x + 3lnx
x→+∞ 1 +
lim

2
x
3
x

=

5+0
=5
1+0

Material
wordcreado por el ´
area de Matem´
atica PAIEP 2

Otras formas de indeterminaci´on son 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ . Por ejemplo, si limx→a f (x)g(x) = 0 · ∞.
Cuandolimx→a f (x) = 0 y limx→a g(x) = ∞, reescribirmos la funci´
on f (x)g(x) de manera que el l´ımite sea
0 ∞
. Para esto podemos considerar:
de la forma o
0 ∞
lim f (x)g(x) = lim

x→a

f (x)

x→a

o
lim f (x)g(x) = lim

x→a

x→a

1
g(x)

g(x)
1
f (x)

0
,
0

=

=

∞
.
∞

Luego aplicamos la regla de L’Hˆ
opital.
Ejemplo 3 Considere las siguientes situaciones:
1

a) limx→0 xe x
Si evaluamos de formadirecta, nos queda
1

lim xe x = 0e∞ = 0 · ∞.

x→0

Luego,
1

lim

ex

x→0 1
x

=

Ahora aplicamos la regla de L’Hˆ
opital
1

ex

lim
x→0 1
x

∞
.
∞
1

− 12 e x
(e x )′
1
= lim 1 ′ = lim x 1 = lim e x = e∞ = ∞.
x→0 ( )
x→0 − 2
x→0
x
x
1

b) lim+ x2 · lnx, es de la forma 0 · ∞. Luego, escribimos:
x→0

lim

lnx

x→0+

1
x

= lim

x→0+

1
x
− x12

= − lim

x→0+

x2
= − lim x = 0
x
x→0+

Ejemplo 4...