Regla De LHopital
PAIEP
Universidad de Santiago de Chile
Regla de L’Hˆ
opital
f (x)
cuando f (a) = g(a) = 0, pueden evaluarse utilizando el teorema que
g(x)
f (x)f ′ (x)
plantea, que si adem´as f (x) y g(x) son funciones derivables, entonces limx→a
= limx→a ′
.
g(x)
g (x)
Los l´ımites de la forma limx→a
Ejemplo 1
a) limx→0
0
tan(x)
, es la formaindeterminada . Luego,
x
0
1
tan(x)
sec2 (x)
1
= lim
= lim
= =1
x→0
x→0
x→0 cos2 (x)
x
x
1
lim
b) limx→4
c) limx→0
2x
0
x2 − 16
, es de la forma . Luego, limx→4
=8
x−4
0
1
ex + x · ex
x · ex
=
lim
= −1
x→0
1 −ex
−ex
Situaci´
on similar para aquellas expresiones, que tienen formas indeterminadas
∞
.
∞
Ejemplo 2
a) limx→+∞
x
∞
, es de la forma
. Luego, aplicando L’Hˆ
opital se tiene
ex
∞
1
1
x
= lim x ==0
x
x→+∞ e
x→+∞ e
∞
lim
b) limx→∞
6x2 − 12x − 1
12x − 12
12
2
2x3 − 6x2 − x
= limx→∞
= limx→∞
= limx→∞
= .
3
3x − 6x
9x2 − 6
18x
18
3
Lo anterior es por la aplicaci´
on del teorema que indica queel c´
alculo del l´ımite se puede
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
realizar, en forma reiterada, en el entendido que limx→a
= limx→a ′
= limx→a ′′
=
g(x)
g (x)
g (x)
. . . existan o no.
c) limx→+∞
5+
5x +2lnx
= limx→+∞
x + 3lnx
1+
2
x
3
x
=
5+0
=5
1+0
Material
wordcreado por el ´
area de Matem´
atica PAIEP 1
Otras formas de indeterminaci´
on son 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ . Por ejemplo, si la forma es 0 · ∞,para
0
1
∞
1
o bien
·∞=
.
aplicar L’Hˆ
opital se escribe en la forma 0 · = ´
0
0
∞
∞
Ejemplo 3
a) limx→0+ x2 · lnx, es de la forma 0 · ∞. Luego, escribimos:
lim
x→0+
lnx
1
x
= lim
x→0+
1
x
−x12
= − lim
x→0+
Otra forma es ∞ − ∞, que puede transformarse en
x2
= − lim x = 0
x
x→0+
0
y de esta forma aplicar L’Hˆ
opital.
0
Ejemplo 4
a) limx→0
sinx − x
cosx − 1
−sinx
1
0
1
= limx→0
−
=limx→0
= limx→0
= = 0.
x sinx
x · sinx
sinx + xcosx
cosx + cosx − xsinx
2
x2 − x − 6 − 5x + 15
x2 − 6x + 9
x−3
5
1
= limx→3
− 2
=
lim
= limx→3 2
=
x→3
2
2
x+3 x −x−6
(x − 3)(x − x − 6)
(x − 3)(x − x −...
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