Regla de LHospital

Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 6 – L’ Hospital

Práctica 6 – Parte 2

Regla de L’Hospital
1. Caso cero sobre cero
Veamos tres problemas de límites conocidos:
2 x  10  4
x 3

1. lim
x 3

2.

lim
x2

x2  4
x2  2x

3. lim
x 0

sen(3 x)
2x

Los límites 1. y 2. se resuelven mediante técnicas algebraicas, multiplicar por el conjugado y
sen(ax)
factorizar los polinomios; en el3, además, se utiliza que lim
 1 , como vimos en el
x 0
ax
capítulo de límites.
Los tres límites tienen una característica en común. En cada caso, está incluido un cociente y, tanto
el numerador como el denominador, tienden a 0 como su límite. No se puede usar, en estos casos,
que el límite del cociente es el cociente de los límites porque el límite del denominador es cero, y
además, se llega auna indeterminación cero sobre cero.
En el problema 1, si multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador que
es

2 x  10  4 , y simplificamos x  3 , podemos salvar la indeterminación y calcular el límite

pedido:
lim
x 3

lim
x 3

2 x  10  4
 lim
x 3
x 3



2  x  3

 x  3 

2 x  10  4

2 x  10  4

 x  3



 lim
x 3




  lim 2 x  10  16 
2 x 10  4 
 x  3  2 x  10  4 

2 x  10  4

x 3

1
2
 .
2 x  10  4 4

En el problema 2, el numerador es una diferencia de cuadrados y si en el denominador sacamos
factor común x , y simplificamos x  2 , podemos salvar la indeterminación y resolver el problema.

 x  2  x  2   lim x  2  2 .
x2  4
lim 2
 lim
x2
x2 x  2 x
x2
x  x  2
x

Área de Matemática – Ciclo BásicoComún – Universidad de Buenos Aires

1

Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 6 – L’ Hospital
En el problema 3, si multiplicamos el numerador y el denominador por 3 , sacamos factor común
sen  ax 
2
 1 , salvamos la indeterminación y podemos calcular el límite pedido
y utilizamos lim
x 0
3
 ax 
3sen  3 x  2
sen  3 x  2
sen  3 x 
 lim
 .
 lim
x 0
x 0
2  3x 
3 x 0  3x 
3
2x

lim

Pero este tipo de indeterminaciones se puede resolver utilizando la Regla de L’Hospital que resulta
como consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy.

Teorema. Regla de L’Hospital: Si f ( x) y g ( x) son funciones continuas en un entorno de a ,
es decir, en un intervalo alrededor del punto, salvo quizás en el punto a , y con derivadas continuas
f ( x)
en dicho entorno,siendo g ( x)  0 cerca de a , lim f ( x)  lim g ( x)  0 y existe el lim
xa
x a
x  a g ( x )
entonces el limite lim
xa

f ( x)
f ( x)
 lim
.
g ( x) x a g ( x)

Demostración
Supongamos que f y g son continuas en (a,a) (a,a), definimos:
 f ( x) si x  a
F ( x)  
si x  a
 0

y

 g ( x ) si x  a
G ( x)  
.
si x  a
 0

F así definida resulta continua en el intervalo

 a  , a  

que contiene a a , pues f  x  es

continua en (a   , a )  (a, a   ) y como lim F ( x)  lim f ( x)  0  F ( a ) , es continua en a .
xa

xa

Los mismos argumentos valen para la función G , con lo cual es continua en  a  , a    .
Por el Teorema del valor medio  x1 con a  x1  x tal que

F ( x)  F (a ) F ( x1 )
.

G ( x)  G (a ) G ( x1 )

Tomando límite por derecha x  a “entonces” x1  a  y lim

x a 

El límite por izquierda es igual, con lo cual, lim

xa

F ´( x1 )
f ( x)
f ´( x )
.
 lim
 lim
x

a
x

a
g  x
G´ x1 
g´ x 

f ( x)
f ´( x )
.
 lim
x

a
g  x
g´ x 

Volvamos a los 3 problemas y calculemos los límites con esta regla.
Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires

2

Teóricas de Análisis Matemático (28)– Práctica 6 – L’ Hospital
Como en los 3 problemas hay un límite donde el numerador y denominador tienden a 0 y las
funciones cumplen con las hipótesis del teorema, podemos utilizarlo, derivando ambas funciones y
analizando el límite de los cocientes de dichas derivadas.
Calculemos los límites utilizando la regla de L’Hospital:

2
2 x  10  4
1
1
1. lim
 lim 2 2 x  10  lim
 .
x 3
x 3
x...