regla de los 4 pasos

Regla de los cuatro pasos

La derivada de una función también se puede obtener como el límite del
cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos.
f ´( x)  lím

x 0

f ( x  x)  f ( x)
x

El procedimiento en este caso consiste en los pasos siguientes:
1. Se da un incremento, x a la variable independiente x
2. Se obtiene el incremento correspondiente a lafunción f ( x  x)  f ( x)
3. Se obtiene el cociente de los incrementos

f ( x  x)  f ( x)
x

4. Se calcula el límite del cociente de incrementos lím

x 0

f ( x  x)  f ( x)
x

y esto proporciona la derivada de f ( x)
En la aplicación de esta regla, además de las operaciones de factorización
que ya recordamos, será necesario utilizar el desarrollo de binomios como:
(a b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3
(a  b) 4  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4 , etc

Y también recordar cómo racionalizar el numerador o denominador de una
fracción.
Veamos otros ejemplos para obtener la derivada de una función, aplicando
esta definición de la regla de los cuatro pasos.

2 - 38

Unidad 2

La Derivada: Estudio de la variación y el cambioEjemplo 2.14 Obtén la derivada de la
función f ( x)  5x  10

Solución
1. Damos un incremento x a x,
2. Obtenemos el incremento de la función
f ( x  x)  f ( x)  5( x  x)  (5x)  5x  5x  5x  5x
3. Obtenemos el cociente de incrementos
4.

f ( x  x)  f ( x) 5x

 5 y
x
x

aplicamos el límite lím (6)  6
x 0

Por lo tanto, f ´( x)  6

Ejemplo 2.15Obtén la derivada
de f ( x)  5x 2  13x  3

Solución
1. Damos un incremento a x y obtenemos el incremento correspondiente a
f(x)
2. f ( x  x)  f ( x)  5( x  x)2 13( x  x)  3  5x 2  13x  3
Obtenemos el cociente de incrementos
1.

5( x  x)2  13( x  x)  3  (5 x 2  13x  3)
x

Desarrollamos el binomio al cuadrado y eliminamos paréntesis

Unidad 2

La Derivada:Estudio de la variación y el cambio

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

5( x 2  2 xx   2 x)  13x  13x  3  5 x 2  13x  3
x

Simplificamos el 13x y el -3

5 x 2  10 xx  5 2 x  13x  5x 2 10 xx  5 2 x  13x


 10 x  5x  13
x
x
2. Calculamos el límite de la expresión anterior, para obtener la derivada

 lím

x 0

10 x  5x  13  10 x  13
x

Por lo tanto, f ´(x)  10 x 13

Ejemplo 2.16 Obtén la derivada de
f ( x)  2 x3  6 x2  7 x  11

Solución
1. Damos inicialmente un incremento a x y obtenemos el incremento
correspondiente a f(x)

2.

f ( x  x)  f ( x)  2( x  x)3  6( x  x)2  7( x  x)  11  (2 x3  6 x 2  7 x  11)

Obtenemos el cociente de incrementos
3.

f ( x  x)  f ( x) 2( x  x)3  6( x  x)2  7( x  x) 11  (2 x3  6 x 2  7 x  11)

x
x

Desarrollamos los binomios

2( x3  3x 2 x  3x 2 x  3 x)  6( x 2  2 xx   2 x)  7 x  7x  11  2 x3  6 x 2  7 x  11
x
simplificamos términos semejantes




6 x 2 x  6 x 2 x  23 x  12 xx  6 2 x  7x
x

Dividimos todos los términos entre x y aplicamos el límite
4. lím 6 x 2  6 xx  2 2 x  12 x  6x  7  6 x 2  12 x  7

x 0 

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Unidad 2

La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

Finalmente, la derivada de f ( x)  2 x3  6 x2  7 x  11es f ´( x)  6 x 2 12 x  7

Ejemplo 2.17 Obtén la derivada de
11
7
f ( x)  x 4  x 3
4
3

Solución
1. Calculamos el incremento de f(x) al incrementar la variable x
2.

f ( x  x)  f ( x) 

11
7 
 11
( x  x)4  7( x  x)3   x 4  x3 
4
3 
4

3. Obtenemos ahora el cociente de incrementos
11
7
7 
 11
( x  x)4  ( x  x)3   x 4  x3 
f ( x  x)  f ( x) 4
3
3 
4

x
x

Desarrollamos los binomios a la cuarta y al cubo para después simplificar
términos semejantes
11 4
7
7 
 11
( x  4 x3x  6 x 2  2 x  4 x 3 x   4 x)  ( x3  3x 2x  3x 2 x   3 x)...