regla de rufini

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce comoMétodo de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.
HistoriaEl método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por WilliamGeorge Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.2 El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tantoque técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;3 en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).4 El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.5
Algoritmo
La Regla de Ruffini establece un método para división delpolinomio

entre el binomio

para obtener el cociente

y el resto

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (an):

2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:

3. Se suman los dos valores obtenidos en lamisma columna:

4. El proceso se repite:

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante de grado uno menos que el grado de . El residuo es
Ejemplo
División de

entre

utilizando la regla de Ruffini.
1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

3. Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener elresiduo:


Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces
, donde
y

Expresiones algebraicas
Definici´on. Una expresi´on algebraica, en una o m´as variables (letras), es
una combinaci´on cualquiera de estas variables y de n´umeros, mediante
una cantidad finita de operaciones: adici´on, sustracci´on, multiplicaci´on,
divisi´on, potenciaci´on o radicaci´on.
Ejemplo
2xy + 1Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar variables.
Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z), algunos números reales y operadoresbásicos como los de la suma, resta, multiplicación y división, obtendremos una expresión algebraica.
x + 9y2
leyes de los signos
1. Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2Multiplicación y división

TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
 
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
 

Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos...