Regla De Simpson

REGLA DE SIMPSON
 
Además de aplicar la regla trapezoidal, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomiosde orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto extra a la mitad del camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectarcon una parábola. Si hay igualmente dos puntos espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. Lasfórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como reglas de Simpson. 

Regla de Simpson 1/3
La segunda fórmula deNewton-Cotes es para una cuadrática integrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:
I ≈  h . [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]                                                              3

Donde para este caso h = (b-a)/2. Al sustituir  h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 1/3 se expresa también como:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) +4f(x1) + f(x2).
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Donde a = x0, b = x2 y x1 = punto a la mitad delcamino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.
 
Regla de Simpson 3/8
En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puedeajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:
 

 
donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 3/8 puedeexpresarse también de la siguiente forma:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
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