Regla De Simpson

Regla de Simpson


La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y aveces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

.


Índice [ocultar]
1 Introducción
2 Derivación de la regla deSimpson
3 Error
4 Regla de Simpson compuesta
5 Historia
6 Véase también
7 Referencias
8 Enlaces externos
[editar]Introducción

En integración numérica, Una forma de aproximar una integraldefinida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular laintegral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediantepolinomios de segundo grado.

[editar]Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre los nodos x0 = a, x1 = by m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:


Así, la integral buscada1


es equivalente a


donde E(f) es eltérmino de error; por lo tanto, se puede aproximar como:


[editar]Error

El término error E(f), llamado error global, corresponde a1


donde y pertenece al intervalo [a,b].

Se puedecalcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos)está acotado como2


donde, de nuevo y .

[editar]Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede...