Regla De L Acadena

REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena no es más que la derivada de la composición de funciones, nos da un método para poder calcular de manera práctica la derivada de la composición de funciones.
 
Esta propiedad asegura que si y = fx es una función derivable en un cierto intervalo I,
f: I⊂R⟶R
 y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos losvalores (imágenes) de la función f,
g: Imf⊂R⟶R
entonces la función compuesta
g∘f: I⊂R⟶Imf⟶R

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
g∘fx=g´fx.f´x

Ejemplo: cálculo de derivadas
 
Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
Resolución:
La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.

Al serg(x) = sen x, g ' (x) = cos x,

por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

 Por la regla de la cadena,
h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2

Resolución:

De g(x) = x3, se deduce
g ' (x) = 3x2. En consecuencia,
 
 

Por la regla de la cadena,

 
Regla de la cadena para la función potencial
 
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm -1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m  
aplicando la regla de la cadena, será:     [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
Así,  
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
Resolución:
Si u = x2 + 1, u' = 2x
En este caso m = 3
f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
 
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas
 
Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar laderivada de f(x) = ln |sen x |
Resolución:
u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una
función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
                                   f'(x) = (au ) ' = u' · au · ln a
                                         g'(x) = (eu ) ' = u' ·eu
Ejercicio: cálculo de derivadas
1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
Resolución:
Llamando u = x · sen x,     u' = 1 · sen x + x cos x
                        f '(x) = (4x sen x ) ' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

Resolución:

 
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejercicio: cálcular la derivada
Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)Resolución:
Si u = sen x, u' = cos x
f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u =
cos x · cos(sen x)
Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)
Resolución:
u = x2 - 1; u' = 2x
g '(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u =
2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)
Calcular la derivada de h(x) = sen3x2
Resolución:
Llamando u = sen x2, hay que derivar
sen3x2 = u3.
Por la regla de la cadena, laderivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'
Llamando v = x2; u = sen v.
u' = v' · cos v = 2x · cos x2
Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' =
3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =
= 6x · sen2x2 · cos x2
Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.
Derivada de la función inversa
Si una función y= f(x) admite una función
inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable
en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0).
En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

 
Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición...