Regla De L Hopital

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Regla de l'Hôpital
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Enunciado
La regla deL'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo  ó 
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], ysean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b.Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a).
Por lo tanto,Guillaume de l'Hôpital |
[editar]DemostraciónEl siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para sudemostración.2
* Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

* Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizandola definición de derivada:

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[editar]Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valornumérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla seobtendrá: f'(x)/g'(x).
[editar]Aplicación sencilla

[editar]Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

[editar]Ejemplo #1aplicando la definicion se realiza 

[editar]Ejemplo #2

aplicando la definicion se realiza 

[editar]Ejemplo #3

aplicando la definicion se realiza 

[editar]Ejemplo #4

Puesto que  podemosaplicar L'Hospital

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[editar]Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones...