regla del hospital

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad ZabalREGLA DE L’ HÔPITAL
Su aplicación permite resolver algunas indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones
derivables.

Regla de l’ Hôpital
Si f y g son funciones continuas y derivables enun intervalo abierto que contiene a un punto xo
verificando:
a)

lim f (x ) = lim g( x ) = 0

x → xo

x → xo

b) g ′( x ) ≠ 0 en cualquier x ≠ xo del intervalo
f ′( x )
c) Existe lim
x →xo g ′( x )
Entonces, existe lim

x → xo

f (x)
f (x)
f ′( x )
y lim
= lim
.
g( x ) x → xo g( x )
x → xo g ′( x )

Observaciones:
1. La regla de L’Hôpital también se puede aplicar si x →±∞ .
2. La regla de L’Hôpital además de resolver indeterminaciones del tipo
aplicar para resolver indeterminaciones del tipo
3. Si al calcular

lim

x → xo

0
también se puede
0

±∞
±∞f ′( x )
nos volvemos a encontrar en las condiciones establecidas por esta
g ′( x )

regla se puede volver aplicar de nuevo, y así sucesivamente las veces que consideremos
oportunas para laconsecución del límite buscado.
4. Para resolver el resto de indeterminaciones no se puede aplicar directamente esta regla. En
0
±∞
o
estos casos se han de transformar en una indeterminación deltipo
y después aplicar la
0
±∞
regla de L’Hôpital.
Ejemplo 9: Utilizando la regla de L’Hôpital se pueden calcular fácilmente los siguientes límites:

x2 − 2x + 1 ⎡ 0 ⎤
2x − 2 0
=⎢ ⎥
=
= =0lim
x →1
ln x
1
⎣ 0 ⎦ (L ' Hôpital ) x →1 1
x

a) lim

b) lim

ex

x →+∞ 3x

2

ex
ex
⎡ +∞ ⎤
⎡ +∞ ⎤
=⎢
=
=⎢
=
= +∞
lim
lim
⎥
⎥
⎣ +∞ ⎦ (L ' Hôpital ) x →+∞ 6 x ⎣ +∞ ⎦ (L 'Hôpital ) x →+∞ 6

NOTA: Las indeterminaciones que aparecen en el cálculo del límite se indican entre corchetes.
Ejemplo 10: Calcular los siguientes límites:
1
ln x ⎡ −∞ ⎤
=⎢
=
lim x = lim (...