Regla Del Punto Medio
Páginas: 3 (715 palabras)
Publicado: 9 de diciembre de 2012
´ ´ Integracion numerica: regla del punto medio
´ Angel Eduardo Carvajal y Raul Esteban Acero, Universidad Surcolombiana ´
n el presente art´ ıculo se determina el ´rea bajo la curva de lafunci´n a o y = x3 + 2x2 + 3x + 6, entre el intervalo [-2,1], utilizando la regla del punto medio.
E
b
y = x3 + 2x2 + 3x + 6 7 6 5 4 3 2 1 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0
La definici´n formal de laregla del punto medio se o enuncia a continuaci´n. o Si f es continua en [a, b] y a = x0 , x1 , . . . , xn = b determina una partici´n uniforme de [a, b], entono ces f (x) dx ≈
a
b−a [f (x1 ) + f(x2 ) + · · · + f (xn )] n
en donde xk = (xk−1 + xk )/2 resulta ser el punto medio de [xk−1 , xk ].
´ Figura 1: Area bajo la curva de la funci´n o y = x3 + 2x2 + 3x + 6
Se puede demostrar quela siguiente expresi´n deo Hallando anal´ ıticamente el area de la funci´n f (x)x3 + termina los puntos medios de cada subintervalo. ´ o 2x2 + 3x + 6, tenemos ∆x xk = a + (2k − 1) 1 2 Atotal = x3 +2x2 + 3x + 6 dx −2 Si hallamos el primer punto medio, tenemos 1 1 4 2 3 3 2 0,375 = x + x + x + 6x x1 = −2 + (2(1) − 1) = −1,8125 4 3 2 −2 2 = 15,75 unidades cuadradas • el segundo 0,375 Ahora,evaluaremos la integral num´ricamente. Pae x2 = −2 + (2(2) − 1) = −1,4375 2 ra iniciar, dividiremos la regi´n en 8 rect´ngulos. Si o a notamos ∆x = (b − a)/n, tenemos Podemos continuar hallando los dem´spuntos medios a de la misma forma. b−a 1 − (−2) ∆x = = = 0,375 n 8 x3 = −1,0625, x4 = −0,6875, x5 = −0,3125
P´gina 1 de 2 a
x6 = 0,0625,
x7 = 0,4375,
x8 = 0,81255
El ´rea total ser´entonces a a AT = 1 − (−2) [f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (x8 )] 8 = 0,375[f (−1,8125) + f (−1,4375) + · · · + + f (0,81255)] = 0,375[1,1784 + 2,8498 + 3,8708 + 4,5578+ + 5,2252 + 6,1955 + 7,78 +10,294]
En este punto, podemos ver que ha mejorado la estimaci´n del area obtenida por medio de integraci´n o ´ o num´rica con respecto de la hallada anal´ e ıticamente. Podemos determinar el error...
´ Angel Eduardo Carvajal y Raul Esteban Acero, Universidad Surcolombiana ´
n el presente art´ ıculo se determina el ´rea bajo la curva de lafunci´n a o y = x3 + 2x2 + 3x + 6, entre el intervalo [-2,1], utilizando la regla del punto medio.
E
b
y = x3 + 2x2 + 3x + 6 7 6 5 4 3 2 1 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0
La definici´n formal de laregla del punto medio se o enuncia a continuaci´n. o Si f es continua en [a, b] y a = x0 , x1 , . . . , xn = b determina una partici´n uniforme de [a, b], entono ces f (x) dx ≈
a
b−a [f (x1 ) + f(x2 ) + · · · + f (xn )] n
en donde xk = (xk−1 + xk )/2 resulta ser el punto medio de [xk−1 , xk ].
´ Figura 1: Area bajo la curva de la funci´n o y = x3 + 2x2 + 3x + 6
Se puede demostrar quela siguiente expresi´n deo Hallando anal´ ıticamente el area de la funci´n f (x)x3 + termina los puntos medios de cada subintervalo. ´ o 2x2 + 3x + 6, tenemos ∆x xk = a + (2k − 1) 1 2 Atotal = x3 +2x2 + 3x + 6 dx −2 Si hallamos el primer punto medio, tenemos 1 1 4 2 3 3 2 0,375 = x + x + x + 6x x1 = −2 + (2(1) − 1) = −1,8125 4 3 2 −2 2 = 15,75 unidades cuadradas • el segundo 0,375 Ahora,evaluaremos la integral num´ricamente. Pae x2 = −2 + (2(2) − 1) = −1,4375 2 ra iniciar, dividiremos la regi´n en 8 rect´ngulos. Si o a notamos ∆x = (b − a)/n, tenemos Podemos continuar hallando los dem´spuntos medios a de la misma forma. b−a 1 − (−2) ∆x = = = 0,375 n 8 x3 = −1,0625, x4 = −0,6875, x5 = −0,3125
P´gina 1 de 2 a
x6 = 0,0625,
x7 = 0,4375,
x8 = 0,81255
El ´rea total ser´entonces a a AT = 1 − (−2) [f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (x8 )] 8 = 0,375[f (−1,8125) + f (−1,4375) + · · · + + f (0,81255)] = 0,375[1,1784 + 2,8498 + 3,8708 + 4,5578+ + 5,2252 + 6,1955 + 7,78 +10,294]
En este punto, podemos ver que ha mejorado la estimaci´n del area obtenida por medio de integraci´n o ´ o num´rica con respecto de la hallada anal´ e ıticamente. Podemos determinar el error...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.