regla del trapecio

Regla del trapecio
La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).
En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que


y donde el término error corresponde a:


Siendo un número perteneciente al intervalo [a,b].

Regla del trapecio compuesta
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este métodose supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida

representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho

.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:


Donde

y n es el número dedivisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:


REGLA DE TRAPECIO
Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.
Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.Donde:
∆x = es el ancho de cada uno de los intervalos en los que se divide.
x=representan a las abscisas (eje horizontal)
y= representan a las ordenadas ((eje vertical)


REGLA DE SIMPSON
Además de aplicar la regla trapezoidal, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un puntoextra a la mitad del camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola. Si hay igualmente dos puntos espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como reglas de Simpson.
Historia
La fórmula fue utilizada por primera vez porEvangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615.
Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en1613. Para la boda compró algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba lamedida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.3
A raíz de esto, Keplerformuló en 1615 el escrito Nova Stereometria doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba métodos verificables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.4...