Regla L´Hopital
Páginas: 3 (519 palabras)
Publicado: 13 de febrero de 2013
En matemáticas, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones queestén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en suobra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a JohannBernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó .Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existeel límite de f'/g (en c) y es igual al anterior. |
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostraciónrigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x)para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
Ejemplo:
La regla de l'Hôpital se aplica parasalvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: seanlas funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla...
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en suobra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a JohannBernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó .Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existeel límite de f'/g (en c) y es igual al anterior. |
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostraciónrigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x)para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
Ejemplo:
La regla de l'Hôpital se aplica parasalvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: seanlas funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla...
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