Reglas de conteo

REGLAS DE CONTEO

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

Análisis Combinatorio
El análisis combinatorio es la rama de las matemáticas que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos, y nos va servir para resolver y comprender problemas sobre probabilidades.

Técnicas fundamentalesdel Análisis Combinatorio
En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. Estas técnicas son: la técnica de lamultiplicación, la técnica de la permutación y la técnica de la combinación. 

La Técnica de la Multiplicación
Según La técnica de la multiplicación, si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas:
En términos de fórmula:

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: 

Númerototal de arreglos = m x n x o

Ejemplo: 
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de lamultiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica dela multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: 

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Permutaciones y Combinaciones.
El entendimiento de estos conceptos se puede lograr al definir a ambos, para establecer sus diferencias y de entender claramente cuando se puede utilizar una combinación o utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.Combinación.- Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Permutación.- Es todo arreglo de elementos en donde interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituye dicho arreglo.

Ejemplo:

Suponga que en un salón de clases, existen 35 alumnos. 

a) El maestrodesea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando sea así necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente Secretario y Tesorero).

Solución:

a) Los elegidos son Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado aestos alumnos o a otros para realizar este trabajo), la pregunta obligada es ¿Es importante el orden de selección de los elementos que van a formar el grupo de tres personas?, y se nota que en este caso no tiene importancia, ya que lo único que interesaría es el contenido de cada grupo, o dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?, por tanto en este caso se trata de una combinación, lo quesignifica que las combinaciones nos permite formar grupo o muestras de elementos en donde lo único que interesa es el "contenido" (quienes o que conforman a los grupos o muestras) de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como presidente, a Arturo como Secretario y a Rafael como Tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer los cambios...