Reglas De Derivación

Reglas de derivación
Teorema
Derivada de una constante por una función
H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)
Demostración:
f'(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
x->a x - a x->a x - a
Nota:
* El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:
(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.
Teorema
Derivada de la suma
La derivada de una suma de funciones es lasuma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)
Demostración:
(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
x->a (x-a)x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
x->a (x-a) (x-a)
Notas:
* En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
* El teorema se extiende a más de dos funciones.
Ejemplo
(x + Lx)' = x' +(Lx)' = 1 + 1/x
Teorema
Derivada del producto
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
    (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)
Demostración:
(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
x->a (x-a)x->a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
x->a (x-a)

f'(a) g'(a)
(*) g(a) -----^----- -----^-----
-^- (f(x) -f(a)) (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a (x-a) (x-a)
(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).
Notas:
* (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
* Generalización para tres funciones:(f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x)
Ejemplo
(x2.sen x)' = 2xsen x + x2cos x
Teorema
Derivada del cociente
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0
T) f/g es derivable en x=a
    (f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g2(a)
Demostración:
(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)(f/g)'(a) = lim ------------------- = lim ---------------------
x->a x - a x->a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)
= lim ----------------------------------------- =
x->a (x - a)g(x)g(a)f'(a) g'(a)
-----^----- -----^-----
(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f'(a) - f(a)g'(a)
lim x - a x - a = --------------------
x->a ------------------------------------ g2(a)...