Reglas de Derivacion / Matemáticas

Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a) 0,entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6. Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d)


Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivableslas siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=
Observación: la gráfica de esta función es:
b) y =
c) g(x)=
Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,
y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fondo de inversión genera unarentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendoen cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor dedicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Sederiva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 laderivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
f




f ´ + 200 -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro...