Reglas de diferenciacion

MODELACIÓN MATEMÁTICA
Una introducción al método
Profesor: Efraín Antonio DOMÍNGUEZ CALLE, Ph.D.
Página Web: http://mathmodelling.googlepages.com e-mail: e.dominguez@javeriana.edu.co

REVISIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
A) REGLAS DE DIFERENCIACIÓN: A continuación se presentan las reglas de diferenciación sin demostración matemática. Para consultar la demostración revise (Kudriatsev yDemidovich: 1989; Aleksandrov y otros: 1994; Krasnov y otros: 1990)1. 1) Diferenciación de la suma, el producto y el cociente de dos funciones Teorema 1. Si las funciones u = u (x) y v = v(x) son diferenciables en el punto x , entonces la suma, el producto y el cociente de estas funciones (bajo la condición de que v( x) ≠ 0 ) también son diferenciables. Las reglas de diferenciación para las mencionadasoperaciones son las siguientes:
(u ± v)′ = u ′ ± v′ (u.v)′ = u ′v + uv′ ′  u  u ′v − uv′   = v2 v

(I) (II)

Diferencial de la suma de funciones Diferencial del producto de funciones

(1) (2) (3)

(III) Diferencial del cociente de funcione

2) Diferenciación de una función compuesta (función de una función) Teorema 2. Sí la función x = ϕ ((t ) tiene derivada en el punto t 0 , ysi para la función y = f ( x) existe derivada en el punto x0 = ϕ (t 0 ) , entonces la función compuesta f [ϕ (t )] también tiene derivada en el punto t 0 y para obtenerla es valida la siguiente fórmula:
y ′ = f ′( x0 )ϕ ′(t 0 )
1

_

(4)

Kudriatsev V.A., Demidóvich B.P., 1986 (1989): Breve curso de matemáticas superiores. Moscú. Editorial Mir. Páginas 214 – 215. Aleksandrov A.D.,Kolmogorov A.N., Laurentiev M.A. y otros. 1994: La matemática: su contenido, métodos y significado. Tomo 1. Alianza Editorial. Páginas132 – 140. M. Krasnov, A. Kisiliov, G. Makarenko, E. Shikin. 1990: curso de matemáticas superiores para ingenieros. Tomos 1. Editorial Mir. Moscú. Páginas 354-374 1

Efraín Antonio DOMÍNGUEZ CALLE Departamento de Ecología y Territorio Facultad de Estudios Ambientales yRurales Pontificia Universidad Javeriana

Esta regla es la más difícil de asimilar, el lector que maneje esta regla y tenga a su disposición un conjunto de tablas de derivadas para las funciones elementales puede fácilmente derivar cualquier función compleja. Para aplicar la regla es necesario conocer como está construida la función que deseamos derivar; esto es, qué operaciones debemos realizarsobre la variable dependiente y . Por ejemplo, para calcular la función y = sen( x 2 ) es necesario, en primer lugar, elevar x al cuadrado y luego calcular el seno del valor así obtenido. Por lo anterior se puede representar y = sen(u ) , donde u = x 2 . Entonces, asimilando la regla del teorema 2, la derivada de y será igual a la derivada de sen(u ) multiplicada por la derivada de la funcióninterna u . De modo qué y ′ = 2 x cos( x 2 ) . 3) Tabla de derivadas de las funciones elementales
y c = const y′ y y′ y y′

0

ln x

1 x

tgx

sec 2 x

xa ex

ax a −1 ex

log a x senx

1 log a x x
cos x

arcsenx
arccos x

1
−

1− x2 1
1− x2 1 1− x2

ax

a x ln a

cos x

− senx

arctgx

Tabla 1. Derivadas de funciones elementales B) PROPIEDADES DE LA INTEGRALINDEFINIDA Si la función F (x) es la primitiva de la función f (x) en un intervalo X , entonces la familia (conjunto) de funciones F ( x) + C , donde C es una constante arbitraria, se denomina integral indefinida de la función f (x) en este intervalo y se representa cómo:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

_

(5)

La función f (x) es la función subintegral y f ( x)dx es la expresión subintegral, x esla variable de integración.

∫ f ( x)dx

representa el conjunto de todas las primitivas de

f (x) . La determinación de la función primitiva de una derivada dada se llama operación de integración. Para verificar el resultado de la integración basta con volver a derivar la función obtenida como primitiva y constatar su coincidencia con la función subintegral. La integración es la operación...