Reglas de Diferenciación (derivadas)

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Reglas de Diferenciación
del texto de Alpha C. Chiang
Métodos Fundamentales de Economía Matemática
Función de una variable-de forma y = f ( x ) donde f significa cualquier función. En
economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente
diferenciables. k es un constante.
dy dk
1. Regla de la función constante
y = f ( x) = k
=
=0
!
dx dx

dy
2. Regla de lafunción potencial y = f ( x ) = kx n
= f "( x ) = knx n#1
dx
!
!
dy
3
3$1
2
• Ejemplo 1 y = 7x "
= ( 7 # 3) x = 21x
dx
1
1
3
dy $
1 ' 4 *1 7 * 4
!
= &7 # !
• Ejemplo 2 y = 7x 4 "
)x = x
dx %
4(
4
dy 1
3. Regla!de la función logaritmo natural (base de ‘e’). y = ln x "
=
dx x
dy f #( x )
! general y = ln f ( x ) "
La versión
=
dx f ( x )
dy
4. Regla de la funciónexponencial y = e x "! = e x
dx
dy
f ( x)
La versión
= f #( x )e f ( x)
! general y = e "
dx
!
Dos o más funciones de la misma variable- f ( x ),g( x ),h ( x ) son funciones.
!

d [ f ( x ) ± g( x )] df ( x ) dg( x )
=
±
= f "( x ) ± g"( x )
1. Regla de la suma y = f ( x ) ± g( x )
dx
dx
dx
!
dy
• Ejemplo 1 y = 7x 4 + 2x 3 " 3x + 37 #
= 28x 3 + 6x 2 " 3
dx
dy
!
• Ejemplo
2 y =ax 2 + bx
= 2ax + b
! +c "
dx
dy
• Ejemplo
3 y = ax " + bx # + c $
= "ax " %1 + #bx # %1
!
dx
! producto y = f x g x
2. Regla del
( ) ( )
d [ f ( x ) g(!x )]
dg( x )
df ( x )
= f ( x)
+ g( x )
= f ( x ) g"( x ) + g( x ) f "( x )
dx
dx
dx
! 1 y = (2x + 3)( 3x 2 ) " dy = (2x + 3)(6x ) + (2)( 3x 2 ) = 18x 2 + 18x o, en
• Ejemplo
dx
este caso podemos multiplicar primer, ydespués tomamos la derivada.
dy
y = (2x + 3)( 3x 2 ) = 6x 3 + 9x 2 "
= 18x 2 + 18x . Pero, en algunos casos no se
dx
!
puede.

!

!

2
•

La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y = f ( x ) g( x ) h ( x )
d [ f ( x ) g( x ) h ( x )]
dg( x )
df ( x )
dh ( x )
= f ( x ) h( x )
+ g( x ) h ( x )
+ g( x ) f ( x )
=
dx
dx
dx
dx
f ( x ) h ( x ) g"( x ) + g( x ) h ( x) f "( x ) + g( x ) f ( x ) h"(!x )

3. Regla de cociente y =

!
•

Ejemplo 1 y =

f ( x)
dy g( x ) f #( x ) $ f ( x ) g#( x )
"
=
2
g( x )
dx
[g( x )]

(2x " 3) # dy = ( x + 1)2 " (2x " 3)1 = 5
2
2
dx
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)

2
2
!
ax 2 + b)
(
dy cx2ax # ( ax + b)c c ( ax # b) ax 2 # b
• Ejemplo 2 y =
"
=
=
=
2
cx
dx
c2x2
cx 2
(cx )
!
Funciones devariables diferentes- x, y,w,z son variables y f ( y ),g( x ),h ( w ) son
funciones.
!

!
1. Regla de la cadena z = f ( y )

! dy
dz dz
=
= f #( y ) g#( x ) También
dx dy dx
podemos obtener este resultado con la sustitución de g( x ) en la función
dz
z = f ( y ) = f [ g( x )] "
= f #[ g( x )] g#( x ) = f #( y ) g#( x )
dx
!
dz
• Ejemplo 1 z = 3y 2 y = 2x + 5 " ! = (6y )(2) = 12y= 12(2x + 5) = 24 x + 60
dx
17
2
• Ejemplo 2 z = ( x + 3x " 2) Sea que y = ( x 2 + 3x " 2) # z = y17 Entonces
dz
dy
= 17y16
= 2x + 3
!
dy
dx
16
dz dz dy
!=
= (17y16 )(2x + 3)!
= 17( x 2 + 3x " 2) (2x + 3)
dx dy dx

!

y = g( x ) "

!

Usos en economía (funciones de una variable).
• Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el
!
dytrabajo. y = f ( l) "
= f #( l) la derivada es el producto marginal de trabajo
dl
• Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es
una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se
dC
= c#(Y ) La derivada es la
!denomina consumo autónomo. C = C + c (Y ) "
dY
propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de
dCmacro, la función c (Y ) es lineal (c es constante) tanto que c (Y ) = cY "
= c.
dY
!

!

!

3
•

!

•

!

!

Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma
dQd
Qd = Q( P ) , P es el precio del producto.
= Q"( P ) La elasticidad de
dP
dQd P
demanda respecto el precio (del mismo bien) es " d =
dP Qd
Tasas de crecimiento. Una variable
y cambio...