Reglas De Equivalencia

3.1 Reglas de equivalencia En esta sección estudiarás y aplicarás algunas reglas de equivalencia de proposiciones lógicas. Es decir, vamos a empezar a aplicar algunas reglas que nos permitirán transformar proposiciones compuestas, pero conservando su semántica, o sea, todas sus interpretaciones, o en otras palabras, sin alterar su tabla de verdad. Posteriormente, en la sección siguiente,estudiaremos leyes de inferencia que nos permitan definir implicaciones lógicas. Para darnos una idea de la utilidad de las reglas de equivalencia, veamos la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: p1 = (~x∧~y∧z) ∨ (~x∧y∧z) ∨ (x∧~y) p2 = (x∧~y) ∨ (~x∧z) Ambas son proposiciones compuestas por 3 proposiciones simples, por tanto, hay 8 posibles combinaciones. Su tabla de verdad es lasiguiente: x y z V F V F V F V F ~x∧~y∧z ~x∧y∧z F F F F F F V F F F F F V F F F x∧~y F F V V F F F F p1 F F V V V F V F x∧~y F F V V F F F F ~x∧z F F F F V F V F p2 F F V V V F V F

V V V V V V F F F F F F V V F F

Vemos que las dos proposiciones tienen la misma tabla de verdad, es decir, son dos proposiciones equivalentes, pero una es más simple que la otra. De este sencillo ejercicio podemosconcluir que es factible encontrar una proposición compuesta equivalente a otra, pero más simple. Para este proceso de simplificación son necesarias las Reglas de equivalencia. 3.1 Reglas de equivalencia La siguiente tabla contiene varias reglas de equivalencia. Algunos autores las llaman tautologías notables. Como podrás observar, estas reglas tienen su nombre .Es importante tenerlas presentes,porque, como ya vimos, pueden ayudarnos a simplificar el manejo de proposiciones compuestas. Regla 1 ~~p ⇔ p (se lee no no p equivale a p) 2a (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) (se lee p o q equivale a q o p) 2b (p ∧ q) ⇔ (p ∧ q) 2c (p ↔ q) ⇔ (p ↔ q) 3a (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r) Nombre Doble negación o involución Leyes conmutativas

Leyes asociativas

3b (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r) 4a p ∨ ( q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p∨ r) 4b p ∧ ( q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 5a (p ∨ p) ⇔ p 5b (p ∧ p) ⇔ p 6a (p ∨ F) ⇔ p 6b (p ∨ V) ⇔ V 6c (p ∧ F) ⇔ F 6d (p ∧ V) ⇔ p donde F = Falso y V = Verdadero 7a (p ∨ ~p) ⇔ V 7b (p ∧ ~p) ⇔ F 8a ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q 8b ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 8c (p ∨ q) ⇔ ~(~p ∧ ~q) 8d (p ∧ q) ⇔ ~(~p ∨ ~q) 9 (p → q) ⇔ ~q → ~p 10a (p → q) ⇔ (~p ∨ q) 10b (p → q) ⇔ ~(p ∧ ~q) 11a (p ∨ q) ⇔ (~p → q) 11b (p ∧ q) ⇔ ~(p → ~q)12a ((p → r) ∧ (q → r)) ⇔ (p ∨ q) → r 12b ((p → q) ∧ (p → r)) ⇔ p → (p ∧ r) 13 p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) 14 (p ∧ q)→ r ⇔ (p → (q → r)) 15 p → q ⇔ ((p ∧ ~q) → F) donde F = Falso Leyes distributivas Leyes de idempotencia Leyes de identidad

Postulados Leyes de DeMorgan

Contrapositiva Implicación Implicación Implicación Equivalencia Ley de exportación Reducción al absurdo

Comprobación dealgunas reglas de equivalencia por medio de tablas de verdad Vamos a construir las tablas de verdad de las reglas 13 (Equivalencia) y 15 (Reducción al absurdo) para demostrar que son reglas válidas. Regla de la equivalencia La regla de equivalencia establece que una doble implicación es igual a la conjunción de las implicaciones de sus componentes: p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) La tabla de verdad, dondepuede verse que esta regla se cumple, o sea, que ambas proposiciones son equivalentes, es la siguiente: p q p ↔ q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)

V V F F

V F V F

V F F V

V F V V

V V F V

V F F V

Regla de Reducción al absurdo La regla de reducción al absurdo establece que una implicación es equivalente a la conjunción de su antecedente con la negación del consecuente implica Falso:p → q ⇔ ((p ∧ ~q) → F) La tabla de verdad, donde puede verse que esta regla se cumple, es decir, que ambas proposiciones son equivalentes, es la siguiente: p V V F F q V F V F p → q p ∧ ~q (p ∧ ~q) → F V F V V F V F F V F V V

Ejemplo de transformación de proposiciones por medio de las reglas de equivalencia Como ya dijimos antes, una de las mejores maneras de mostrar el uso de las reglas...