reglas de integracion

Capítulo 6

Aplicaciones de la Integral

6.1 Introducción.
En las aplicaciones que desarrollaremos en este capítulo, utilizaremos una variante de la
definición de integral la cual es equivalente a la que se dio en el Capítulo 3.
Dada una subdivisión del intervalo en n partes iguales, cada una de longitud Δx k , nos
podemos aproximar a la integral de la función en el intervalo dadomediante sumas
superiores o sumas inferiores
n

Sn =

∑ M Δx
k

n

In =

k

k =1

∑ m Δx
k

k

k =1

donde Mk y mk son el mínimo y el máximo valor de la función en el k-ésimo subintervalo
determinado por la partición.

x1

x2

x3 ...

xn

Si consideramos la suma
n

Rn =

∑ f ( x ) Δx
k

k =1

134

k

donde xk es cualquier punto del k-ésimo subintervalo,claramente se cumple:
m k ≤ f ( x k ) ≤ M k para k = 1, 2, ... n.
Multiplicando por Δx k obtenemos
mk Δx k ≤ f ( x k )Δx k ≤ M k Δx k

para k = 1, 2, ... n.

Sumamos estas n desigualdades
n

n

n

∑ m Δx ≤ ∑ f ( x )Δx ≤ ∑ M
k

k

k

k =1

k

k =1

k Δx k

k =1

es decir:
I n ≤ Rn ≤ S n
pero como
b

lim I n = lim S n =

n →∞

n →∞

∫ f ( x) dx
a

entoncesb

lim Rn =

n →∞

∫ f ( x) dx
a

es decir
b

n

lim

n→∞

∑ f ( x )Δx = ∫ f ( x) dx
k

k

k =1

a

En las aplicaciones de la integral, a menudo el planteamiento de un problema nos conduce a
calcular el límite de una sumatoria como la anterior, la cual identificaremos como la
integral y resolveremos utilizando las técnicas correspondientes.

135Esquemáticamente y con el fin de tener presente el concepto de integral, podemos resumir
este procedimiento omitiendo el subíndice k e intercambiando límite de la sumatoria por
integral y Δx k por dx, es decir,
lim

∑

→

∫

xk → x

y

Δx k → dx

6.2 Cálculo de Áreas

En los siguientes ejemplos encontraremos el área de una región dada. Dicha región será
considerada como el área comprendidaentre dos curvas, cuyas intersecciones definen el
intervalo que subdividiremos en n partes iguales, a partir de lo cual encontraremos
aproximaciones cuyo límite será el área buscada. A este límite lo identificaremos como una
integral.
Posteriormente resumiremos este proceso de integración con la introducción de
diferenciales de áreas y no trataremos explícitamente con las subdivisiones delintervalo de
integración.
Ejemplo 1. Encuentre el área de la región delimitada por la parábola y = 6 - x2 y la recta
y=x
Solución:

6 − x2
k

xk

Δxk

136

Primeramente encontraremos los puntos de intersección, igualando la parábola y = 6 - x2
y la recta y = x, para determinar el intervalo de integración.
6 - x2 = x
6 - x2 = x ⇔ x2 + x - 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x - 2) = 0
cuyas solucionesson x = -3 y x = 2.
Sea P = {a 0 , a1 , ... a n } una subdivisión del intervalo [-3, 2] y
1,2,...n

x k ∈ [a k −1 , a k ] para k =

El área del rectángulo genérico de base Δxk (el área del k-ésimo rectángulo determinado por
la partición) es:
2
( 6 − x x − x k ) Δx k

Nótese que, para encontrar la altura del rectángulo debemos saber cuál es la curva que
queda por arriba y cuál la quequeda por abajo.
Un valor aproximado al área buscada es la suma de los rectángulos determinados por la
subdivisión:
n

∑ (6 − x

2
x

− x k ) Δx k

k =1

y el valor exacto del área es el límite de estas aproximaciones, el cual lo identificamos con
una integral:
2

n

lim

n →∞

∑ (6 −
k =1

2
xx

2

⎡
125
x3 x2 ⎤
− x k )Δx k = (6 − x − x) dx = ⎢6 x −
−
⎥ =
3
2 ⎦−3
6
⎣
−3

∫

2

En base a esto, directamente escribimos el área del rectángulo genérico, al que llamaremos
dA, como:
dA = (6 - x2 - x)dx

encontrando el área buscada como proceso de integrar esta expresión
2

∫

A = (6 − x 2 − x) dx =
−3

137

125
6

Ejemplo 2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones
y = x2
y
y = x3
Solución:...