REGLAS DE SIMPSONS

Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde  para .
Aplicando la regla de Simpson a cada subintervalo  se tiene:

Sumando las integralesde todos los subintervalos, se llega a:

El máximo error viene dado por la expresión

Introducción
En ingeniería, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de interés que, cuando se plantean, exigen la determinación de una función la cual debe verificar una ecuación que involucra derivadas de la función desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal vez elejemplo más conocido es la ley de Newton:1


Definiciones[editar]
Ecuación diferencial ordinaria[editar]
Si y es una función desconocida:

de x siendo  la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)
es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones linealesdiferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

es llamada una ecuación diferencial explícita.
Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo,tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del ingléssource term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
Soluciones[editar]
Dada una ecuación diferencial

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solución, y su gráfica se llama curva integral de F 3 , si u es n vecesderivable en I, y

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general[cita requerida].
Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solucióngeneral mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.
Solución de una EDO de primer orden[editar]
Sea y' = f(x,y) (1)
una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su solución general de la ecuación difrencial (1) una función
y= φ(x, C),
que depende de una constante arbitraria C . Satisface la EDO (1) para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial
(y(x0) = y0) (2),
siempre se puede asignar un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaga la condición inicial dada. Se presume que el punto (x0, y0) esta en la región donde se cumplen las condiciones deexistencia
Fórmula de Euler
La Fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es launidad imaginaria,  y  son las funciones trigonométricas seno y coseno.
O bien:

siendo z la variable compleja formada por : z' '=x+iy.
Demostración[editar]
Nótese queesta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar la fórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada...