Reglas de L´Hopital

Reglas de l’Hôpital

Estudiamos en este tema el método práctico más efectivo para calcular límites de funciones
en los que se presenta una indeterminación del tipo [ 0 / 0 ], o [ ∞ / ∞ ] . Este método se atribuye
al matemático francés Guillaume de l’Hôpital (1661-1704), aunque el descubrimiento se debe
más bien a su maestro, el matemático suizo Johann Bernouilli (1667-1748). El principiogeneral
consiste en que, con las hipótesis adecuadas, el comportamiento (convergencia o divergencia)
del cociente f /g entre las derivadas de dos funciones (en un punto de la recta real, por la
izquierda o por la derecha, en +∞ o en −∞ ) implica el mismo tipo de comportamiento para el
cociente f /g entre las dos funciones. A la hora de concretar esta idea general, se comprende que
seríannecesarios demasiados enunciados para estudiar uno a uno todos los casos. Presentaremos
solamente dos enunciados, conocidos como primera y segunda reglas de l’Hôpital, mostrando
que a partir de ellos puede resolverse cualquier otro de los casos.


Teorema del Valor Medio Generalizado

Se conoce con este nombre la siguiente versión del Teorema del Valor Medio, que resulta
especialmente indicadapara estudiar las reglas de l’Hôpital:

Teorema. Sean a, b ∈ R con a < b y f , g : [a, b] → R dos funciones continuas en [a, b] y
derivables en ]a, b[ . Entonces, existe c ∈]a, b[ verificando que:
f (b) − f (a) g (c) = g(b) − g(a) f (c)

(1)

Demostración. Consideramos una función h : [a, b] → R , que se visualiza muy bien usando
determinantes. Para x ∈ [a, b] definimos:
1 f (x) g(x)
f (a)g(a)
1 f (a)
1 g(a)
h(x) = 1 f (a) g(a) =
g(x) −
f (x) +
1 f (b)
1 g(b)
f (b) g(b)
1 f (b) g(b)
= f (b) − f (a) g(x) − g(b) − g(a) f (x) + f (a) g(b) − f (b) g(a)


Reglas de l’Hôpital



Es evidente que h es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ , con
h (x) = f (b) − f (a) g (x) − g(b) − g(a) f (x) ∀ x ∈]a, b[
También es evidente que h(a) = h(b) = 0 . Por el Teorema deRolle, existe c ∈]a, b[ tal que
h (c) = 0 , que es precisamente la igualdad buscada.
El nombre del teorema anterior se explica porque, tomando g(x) = x para todo x ∈ [a, b] ,
obtenemos para f la tesis del Teorema del Valor Medio. Nótese además que en la demostración
anterior no hemos usado el Teorema del Valor Medio, sino directamente el Teorema de Rolle.
Conviene comentar que si hubiésemosaplicado directamente a las funciones f y g el
Teorema del Valor Medio, no habríamos obtenido la conclusión buscada. Tendríamos puntos
u, v ∈]a, b[ verificando que
f (b) − f (a) = f (u)(b − a)

y

g(b) − g(a) = g (v)(b − a)

de donde obtendríamos
f (b) − f (a)) g (v) = g(b) − g(a) f (u)
igualdad que está todavía lejos de (1) porque nada nos permite asegurar que sea u = v .
La situación seejemplifica muy bien tomando
a = 0, b = 1,

f (x) = x 2 , g(x) = x 3

∀ x ∈ [0, 1]

Tenemos entonces
f (b) − f (a) = f (u) (b − a) ⇔ b 2 − a 2 = 2 u (b − a) ⇔ u =

1
2

1
g(b) − g(a) = g (v) (b − a) ⇔ b 3 − a 3 = 3 v 2 (b − a) ⇔ v = √
3
de modo que no podemos conseguir u = v , pero la igualdad que realmente buscamos es
f (b) − f (a) g (c) = (b 2 − a 2 ) 3 c 2 = (b 3 − a 3 ) 2 c =g(b) − g(a) f (c)
es decir, 3 c2 = 2 c , que se verifica obviamente para c = 2/3 .
Expliquemos ahora por adelantado el interés de la versión generalizada del Teorema del
Valor Medio recién obtenida. Suponiendo f (a) = g(a) = 0 , si podemos asegurar (ya veremos
cómo) que g(b) = 0 y g (c) = 0 , la igualdad (1) toma la forma
f (b)
f (c)
=
g(b)
g (c)
y esto abre el camino para relacionar loscocientes f /g y f /g . El trabajo que nos queda por
hacer es poner las hipótesis adecuadas para conseguir que la idea anterior dé resultado.

7. Reglas de l’Hôpital

7.2.

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Primera regla de l’Hôpital

Empezamos trabajando con una indeterminación del tipo [ 0 / 0 ] . Como ya hemos venido
haciendo, al hablar de un intervalo, lo suponemos no vacío y no reducido a un punto.
Teorema....