Reglas Diferenciacion

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Reglas de Diferenciación
del texto de Alpha C. Chiang

Métodos Fundamentales de Economía Matemática
Función de una variable-de forma y  f x donde f significa cualquier función. En
economía, generalmente, suponemos que las funciones son
continuamente diferenciables. k es un constante.

1. Regla de la función constante y  f x  k
2. Regla de la función potencial y  f x  kx
 Ejemplo 1 y 7x
1

 Ejemplo 2 y  7x

4

3

dy  dk  0
dx dx

dy
n
 f x  knx
dx

n

dy  7 3 x 3 1  21x 2

dx 
dy  7

dx

1

1 x4
4

1



7

3

x4

4

3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’). y  ln x

La versión general y  ln f x

1

dy f x

f x
dx

dy  1
dx x

x
x
4. Regla de la función exponencial y  e dy  e
dx
f  x dy
f  x
La versión general y  e
 f xe
dxDos o más funciones de la misma variable- f  x, g x, h x son funciones.
y  f x  gx d f x  gx  df x  dgx  f x  g x
dx
dx
dx
4
3
3
2
dy  28x  6x
3x  37
3
 Ejemplo 1 y  7x  2x
dx
2
 Ejemplo 2 y  ax  bx  c dy  2ax  b
dx
dy  ax 1  bx 1
 Ejemplo 3 y  ax  bx  c
dx

1. Regla de la suma

2. Regla del producto y  f  x g x


d f xgx  f x dgx  g xdf x  f x g x  g x f x
  dx
  dx
       
dx
2
2
2
dy
 2x  36x  23x  18x  18x o, en
 Ejemplo 1 y  2x  3 3x
 dx



este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada.
2
3
2
dy  18x 2  18x . Pero, en algunos casos no se
 6x  9x
y  2x  3 3x



dx
puede.


2
 La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y  f xgxhx 
d fxgxhx  f x h x dgx  g x h x df x  g x f x dhx 
    dx
    dx
    dx
dx
f x h x g x gx h x f x gx f x h x
                

3. Regla de cociente y 

 Ejemplo 1 y  
 Ejemplo 2 y 

f x

gx

2x

3


x1



ax 2  b



cx

dy  gx f x f xg x
gx2
dx
5
dy  x  1 2 2x 3 1

2
x  1
 x  1 2
dx




dy  cx2ax ax  bc cax
2

dx

cx

c2x2

2

 

b  ax 2 b
2
cx

2

Funciones de variables diferentes- x, y, w, z son variables y f y , g x , h w son
    
funciones.
1. Regla de la cadena z  f y y  gx

dz  dz dy  f yg x También
dx dy dx
podemos obtener este resultado con la sustitución de g x en la función





z  f y  f gx

dz  f gxg x  f yg x
dx
2
dz  6y 2  12y  12 2x 5  24 x  60
 Ejemplo 1 z  3y y  2x  5
dx
2
17
2
17
 Ejemplo 2 z  x  3x 2 Sea que y  x  3x 2 z  y
Entonces
16
dz  17y
dy  2x  3
dy
dx
dz  dz dy  17y16 2x  3  17 x 2  3x 2 16 2x  3


dx dy dx























Usos en economía (funciones de una variable).
 Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el 

trabajo. y  fl

dy  f l la derivada es el producto marginal de trabajo
dl

 Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual
es una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se 
denomina consumo autónomo. C  C  c Y



dC  c Y  La derivada es la
dY



propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de

macro, la función c Y eslineal (c es constante) tanto que c Y  cY






dC  c .
dY

3
 Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma 
d
d
Q  Q P , P es el precio del producto. dQ  Q P La elasticidad de
 

dP
d
dQ P
demanda respecto el precio (del mismo bien) es d 
d
dP Q
 Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos 
dy
dy
y  f  t
 f t La tasade cambio (o crecimiento) de y es dt  f t .
y
dt
f t 
Obsérvense que podemos escribir la función y  f t en logaritmos
ln y  ln f t y usamos la regla de logaritmos para obtener la tasa de
dy
d ln y f t
dt

crecimiento.

dt  f t  y

Funciones de más de una variable-Derivadas Parciales
Las reglas por arriba aplican con cambios de la notación. Es importante
señalar que la...