reglas y toermas de las derivadas

Regla de L’Hopital:

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio aconocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de lasindeterminaciones del tipo o .2

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,



Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla deL'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.
• Como g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x)≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle.
• Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos x y c, tal que el cocientef(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

• Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende hacia c, así que:

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.
Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas.La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla


Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:




Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta prácticotransformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:
Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sinaplicación de la doble inversión.
Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.
• Tipo






Generalizaciones
La regla de L'Hôpital vale para límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos.
La regla de L'Hôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que seandiferenciables. Dadas dos funciones f y g tales que f(c) =
g(c) = 0, se tiene:




, representan los gradientes de ambas funciones escalares

, representa el producto escalar de dos vectores.
, representa la norma de un vector.
, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector .
, es el ángulo formado por el gradiente de g y el vector .

Teorema de Rolle

En cálculodiferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Enunciado
Se puede...