REGRE 2 MARZO 2015

Análisis de Regresión __________________________________________________________________

2.4 Pruebas de Hipótesis e intervalos de confianza para los parámetros.
Como los estimadores  y  se pueden expresar como combinaciones lineales de una variable que se
distribuye normal, se concluye que ambos se distribuyen normalmente.
n

  

1 n  Xw  u
i

i

i 1

   

n

w u

i i

i 1

Porresultados anteriores

X
x


  N  ,
 n



2

2

u


  N  ,
2
x




2
 u 

2


(2.4.27)






Por otra parte es posible verificar que la estadística

 n  2 u2
 u2
Se distribuye de acuerdo a una Ji-cuadrada con n-2 grados de libertad.
Un teorema relativo teoría de probabilidades afirma que si W y V son dos variables aleatorias que se distribuyen
en formaindependiente
W ~ N (0,1)

y

V~X

2
(r)

Entonces la estadística T se distribuye t de Student con r grados de libertad

T

W
V

 t (r )

r
Estos resultados permiten construir intervalos de confianza para los parámetros y probar hipótesis.
En primer término se considera , por (2.4.27) es posible proponer una estandarización

Z

  

X
n x

 N  0,1

2
2

u

14

Análisis de Regresión__________________________________________________________________

Al aplicar el teorema mencionado

  

X
n x

2
2

u

 n  2 u2
 u2  n  2 

  



X
n x

2

u

 t n2

(2.4.28)

2

De donde se procede a obtener un intervalo de 100 (1-)% para , ya que para una variable aleatoria T se tiene


P  t   T  t    1  
1

1


2
2







     n x 2


P  t   t    1 
1 2
1 2
2
u
X





Al despejar  dentro del intervalo se obtiene


u  X 2
u  X 2
P  t1
     t1
2
2
2
nx
nx 2



1 



Así los límites del intervalo son:

  t

u
1 2

X
nx

2

(2.4.29)

2

La misma estadística en (2.4.28) permite probar hipótesis relativas a  de la forma:

Ho:   0

Ha:   0

vs

la estadística de prueba es:

T

   o  n  x 2
u

X

(2.4.30)

2

Ho se rechaza con un nivel de significancia 100 % si

T  t1

con n - 2
2

ó
T  t1

con n - 2
2

15

Análisis de Regresión __________________________________________________________________

Al proceder con  tal como se hizo con  de (2.4.27) y el teorema

  

 N  0,1

 u2

x

2

 n  2 u2
 X (2n2 )
 u2
Se propone una estadística que sedistribuye t(n-2) Student

ˆ  
 u2

X

n  2ˆ u2
 u2 n  2

2



( ˆ   )

x

ˆ u

2

 t n2

De aquí se obtiene un intervalo de 100 (1 - )% de confianza para , cuyos límites son

  t

1 2

u
x

(2.4.31)

2

Para probar hipótesis o construir intervalos de confianza para la varianza del error  u se parte de la estadística
referida anteriormente
2

 n  2 u2
 X (2n2)
 u2

Del conocimiento de su distribución se cumple



 n  2u2
2
2

P X  
 X    1  
2
1 2
2



u

2

Donde X  y X
2

2

1  2

son valores acumulativos de tablas de Ji-cuadrada con n-2 grados de libertad.

Al despejar  u se obtiene una proporción equivalente
2


2
2
( N  2)u
 ( n  2)u
2
P
 u 
2
2
 X 
X
1 2

2



  1  


(2.4.32)

Los extremos dela desigualdad constituyen límites de un intervalo de 100(1-)% de confianza para
La misma estadística es utilizada como estadística de prueba para probar hipótesis respecto a
un valor dado
Ho:



2
0

u2  o2

vs

Ha:

u2  02

16

u2

2.
que incluyan

Análisis de Regresión __________________________________________________________________

La estadística de prueba incluye el valorpropuesto en Ho

 n  2 u2
 u2
La hipótesis Ho se rechaza con un nivel 100% sí la estadística de prueba toma valores menores o iguales al
2
2
valor de tablas X  /2 ó mayores o iguales a X 1 / 2 con n-2 grados de libertad en ambos casos.
Es posible construir regiones de confianza o realizar pruebas de hipótesis conjuntas para  y . La forma
2
cuadrática Q de la distribución de  y  se...