Regresión Lineal

Ejercicio resuelto modelo de regresión lineal simple.

Se han realizado una serie de estudios que buscan analizar el efecto de la tasa de interés sobre el nivel de actividad de la economía de los países de Latinoamérica. En el caso de Chile, los datos analizados se presentan a continuación.

Realice lo siguiente: 1) Grafique los datos del problema en un diagrama de dispersión. 2) Suponga queambas variables están linealmente relacionadas. Construya una regresión lineal y desarrolle: a) Calcule el valor de los estimadores y su varianza. b) Calcule el STC, SCR y SEC. c) Calcule la correlación de ambas variables. 3) Interprete los resultados obtenidos del problema realizando un Análisis claro.

Desarrollo. 1. Diagrama de Dispersión.

Efecto de la tasa de Interés sobre la ActividadEconómica.
136 134 132 130 128 126 124 122 120 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Recordemos que un diagrama de dispersión es la primera aproximación al problema. De tal modo, que nos permite observar el tipo de relación que existe entre las variables. En este caso, se observa una mayor concentración de la actividad económica en valores altos a medida que la tasa de interés permanece baja. Esto estaríaindicando la existencia de una relación indirecta entre las variables. 2. Construcción del modelo de regresión lineal simple para las variables: Tasa de Interés y Actividad Económica. Definición de las variables. Variable Independiente: Tasa de Interés. Variable Dependiente: Actividad Económica.
x2
51,84 44,89 20,25 23,04 12,25 15,21 16,81 9 7,29 6,25 8,41 9,61 9

Año 1997 1998 1999 2000 2001 20022003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Sumas Promedio

T. Interés 7,2 6,7 4,5 4,8 3,5 3,9 4,1 3 2,7 2,5 2,9 3,1 3 51,9 3,992308

N. Actividad 128 122,3 127,4 122,7 122,3 127,6 129,6 131,9 134,3 134,5 135,1 135,2 135,1 1686

xy
921,6 819,41 573,3 588,96 428,05 497,64 531,36 395,7 362,61 336,25 391,79 419,12 405,3

ˆ yi
122,4774075 123,6020323 128,5503812 127,8756064 130,7996307 129,8999309129,450081 131,9242555 132,5990303 133,0488802 132,1491804 131,6993305 131,9242555

ˆ  yi  yï 

2

y

i

 yï



2

ˆ  yi  y 

2

 xi  x 

2

30,49902761 2,863905325 1,695288066 54,64621302 1,323376917 5,254674556 26,78690111 48,89236686 72,24372229 54,64621302 5,289682195 4,377751479 0,022475704 2,893297842 0,00852071 21,2308284 0,000588328 4,873905325 2,10574860123,11390533 8,707336188 29,24313609 12,25468682 30,33467456 10,08535332 29,24313609 173,907485 308,7292308

52,05478438 10,28928994 37,09145456 7,331597633 1,303996102 0,257751479 3,30040376 0,652366864 1,226164277 0,242366864 0,043107401 0,00852071 0,058673766 0,011597633 4,981590882 0,984674556 8,449036452 1,670059172 11,26657917 2,226982249 6,036223605 1,193136095 4,028140627 0,7962130184,981590882 0,984674556 134,8217459 26,64923077

233,85 6671,09

129,6923077 15,9385

a) Determinación de los parámetros del modelo.

S xx   x

2

 x 
n

2

 233, 9 

 51, 9 
13

2

 26, 64923

S xx   xy 
ˆ 1  S xy S xx 

  x     y   6671, 09  51, 9  1686  59, 94076
n 13

59, 94076  2, 24924 26, 64923

ˆ ˆ 0  y  1  x  129, 692307 2, 249249  3,992308  138, 672
Por lo tanto el modelo de regresión lineal simple es:

ˆ y  138, 672  2, 249249x
b) A partir de la tabla anterior podemos determinar los valores de las sumas de los cuadrados. Tenemos la suma de los cuadrado del error (S.C.E) que corresponde al cuadrado de la diferencia entre el valor observado y y el valor estimado. Por otro lado, tenemos la suma cuadráticade la regresión (SCR) corresponde a la suma de todos las diferencias cuadráticas entre el valor estimado y el promedio de y; y por último la suma cuadrática total (SCT)que corresponde a la suma de las dos anteriores o por su fórmula
SCT   yi  y ï




2

2

 308, 7292

ˆ SCE    yi  yï   173,907485
2

ˆ SCR    yi  y   134,821745

c)

Las sumas anteriores, nos...