regresion lineal

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:
Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon
Y_t: variable dependiente, explicada o regresando.
X_1, X_2, \cdots, X_p : variablesexplicativas, independientes o regresores.
\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p : parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde \beta_0 es la intersección o término "constante", las \beta_i \ (i > 0) son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. Laregresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
Historia[editar · editar código]

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.
Etimología[editar · editar código]
El término regresión se utilizó por primera vez en elestudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada mástarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
Pero bien, como se hadicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.
El modelo de regresión lineal[editar · editar código]

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas X_k (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros \beta_k desconocidos:
(2) Y = \sum \beta_k X_k +\varepsilon
donde \varepsilon es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:
(3) Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon
El problema de la regresiónconsiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos \beta_k, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).(4) Y_i = \sum \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, \hat{\beta_k}, son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5) Y_i = \sum \hat{\beta_k} X_{ki} + \hat{\varepsilon_i}
Los valores \hat{\varepsilon_i} son por su parte estimaciones de la perturbaciónaleatoria o errores.
Hipótesis modelo de regresión lineal clásico[editar · editar código]

1. Esperanza matemática nula.
E(\varepsilon_i) = 0
Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor...