regresion logaritmica

Análisis de Regresión Logarítmica
1. INTRODUCCION:
Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarse potencial o logarítmico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, talcomo la siguiente:



2. Ecuación característica
La función que define el modelo es la siguiente:

Yi=A*XBi* E

En la cual:
                        Yi :       Variable dependiente, iésima observación
A, B:   Parámetros de la ecuación, que generalmente son
desconocidos
                        E:        Error asociado al modelo
                        Xi :       Valor de la í-esimaobservación de la variable
independiente
Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

yi=a*xbi
Ln yi= Ln a +b*Ln xi
3. Tabla de datos
Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo geométrico de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:

X
Y
Ln x
Ln y
(ln x)2
(ln y)2
Ln X*ln y







..
..

..
..
..
..Σln x
Σln y
Σ(ln x)2
Σ(lny)2
ΣLnx*lny

4. Estimadores del modelo
los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera


5. Análisis de varianza para la regresión
Con el objeto de determinar si el modelo explica o no el fenómeno en estudio, se realiza el análisis de varianza, que se calcula de la siguiente manera


Fuente de Variación
Grados delibertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
F calculada
F tabulada
Regresión
         1
b* (ΣLnxlny-Σ(Lnx)*Σ(lny)/n)
S.C. Reg/1
C.M.Reg/C.M.Error

Error
      n-2
S.C. Total- S.C. Regresión
S.C. Error/(n-2)


Total
      n-1
Σ(lny)2-(Σlny)2 /n
n-1




Ho: El modelo no explica el fenómeno en estudio
Ha: El modelo sí explica el fenómeno en estudio

Para buscar en la tabla laF tabulada, se usan el el numerador los grados de libertad de regresión y en el denominador, de acuerdo al nivel de significancia escogido (los más usuales son al 5% y al 1%)
Si el valor de F calculada es mayor que el de F tabulada, se rechaza Ho, en caso contrario se acepta

6. Grado de ajuste del modelo
Para determinar el grado de ajuste del modelo, se calcula el coeficiente dedeterminación, de la siguiente manera


El valor de r2  tiene un rango entre 0 y 1. No puede obtenerse valores negativos

7. Pruebas de Hipótesis para el modelo

7.1 Para el coeficiente b
Para probar la hipótesis de que el coeficiente b es igual a un valor b´,  ser igual a cero, se procede de la siguiente manera:

i) Se plantea la hipótesis   Ho:b=b´ y la alternativa Ha:  b≠ b´
ii) Se calcula elestadístico :



Sb es conocido como el error standard de b y se calcula de la siguiente manera:

El cuadrado medio del error se obtiene del anàlisis de varianza.

iii) Se busca en la tabla de t de student el valor tabulado para los siguientes datos:
      n-2 grados de libertad y un nivel α/2

iv) Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso                   contrario, se acepta .

7.2 Para el coeficiente a
       Se puede probar la hipótesis de que el coeficiente a es igual a un valor a´, para lo
      cual se sigue el siguiente procedimiento:

i)             Se define la hipótesis:  Ho: a=a´ y la alternativa Ha: a≠a´
ii)            Se calcula el error standard para a con la siguiente fórmula:


                        El cuadradomedio del error se obtiene del análisis de varianza
iii)           Se calcula el estadístico de prueba:



iv)           Se obtiene en la tabla de t de student el estadístico comparador, con los siguientes datos: n-2 grados de libertad y nivel α/2
v)            Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso contrario, la hipótesis se acepta

8. Intervalos de...