regresion multiple lineal

Análisis de Asociación Múltiple Lineal.
Regresión Múltiple lineal
En la práctica, podemos ver fácilmente que suele haber más de un factor o variable que afecta a cierto resultado, por ejemplo, la producción de un bien es una función de las variables de insumo, tales como: mano de obra, tierra, capital, etc. La demanda de un bien depende de su precio, ingreso de los consumidores, gastos enpublicidad y precios de otros productos estrechamente relacionados., en consecuencia, el análisis de regresión múltiple es muy útil y de uso frecuente para problemas económicos y comerciales.
Las relaciones entre variables pueden ser lineales o no lineales, en este caso trataremos, de las relaciones lineales entre 3 variables, siendo una dependiente y dos independientes. Los aspectos teóricos de estecaso se pueden generalizar a casos con más de 2 variables independientes, asimismo para casos donde la relación entre la variable dependiente y las independientes sea no lineal.
Modelo de regresión Trivariable Lineal.
Si una variable dependiente Y está relacionada linealmente con dos variables independientes, X2 y X3 su relación funcional puede describirse por el siguiente modelo deregresión:
(1)
Donde el subíndice i representa la i-esima observación y el segundo subíndice identifica la variable en cuestión.
En general, el modelo de regresión múltiple lineal definido en (1) es especificado por el siguiente conjunto de supuestos:
1. Las variables independientes no son aleatorias.
2. Pueden existir relaciones significativas de dependencia lineal entre dos cualesquiera delas variables independientes, pero su correlación no debe ser perfecta.
3. Los errores, , tienen idénticas distribuciones que son normales con
4. La varianza de Y es constante e idéntica a la varianza de , es decir = ( El subíndice 1 . 23 designa Y dadas X2 y X3 )
5. Los errores son independientes.
6. El número de observaciones de la muestra debes superar al número de coeficientesde regresión que han de estimarse.

Estimación de los coeficientes de regresión.

Dada una muestra simple al azar extraída de una población trivariable, constituida por las ternas (, el modelo trivariable lineal de la muestra puede escribirse:

(2)
Y la ecuación de regresión de la muestra de Y sobre X2 y X3 como:
( 3 )
De las expresiones ( 1 ) y ( 2 ) vemos, queb i son los estimadores de . Para que b i sea un estimador mínimo cuadrático de , b i debe ser determinado de tal modo que:

Quede reducida al mínimo. El procedimiento de derivación nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:
( I )
( II )
( III )
La solución de este sistema de ecuaciones permite hallar el estimador de , asimismo reemplazando los valores de las sumatoriasse obtiene el valor de los b i .
Forma alternativa de hallar el valor de los b i .
Dividiendo cada término de ( I) entre n, tenemos

Luego, expresando (II) y (III) como desviaciones respecto a la media

m1 2 m2 2 m2 3m1 3 m2 3 m3 3
La solución de estas ecuaciones en términos de m, conducen a las siguientes expresiones que nos permite hallar el valor de b2 y b3:



Ejemplo.
Los siguientes datos corresponden a características de los prestatarios de una casa depréstamos:
U E
Ingreso del
prestatario
x2
Ahorro mensual del
prestatario X3
Cantidad de
dinero prestado
Y
1
18
6
29
2
13
3
20
3
7
2
9
4
9
3
12
5
3
1
6
6
15
3
29
7
8
2
10
8
14
4
22
9
11
2
11
10
5
1
8
11
17
4
30
12
16
5
30
13
12
2
18
14
14
3
27
15
13
4
23
16
15
4
22
17
20
5
19
18
23
3
25
19
25
6
29
20
18
3
17
21...