regularidad de los numeros periodicos

Expresiones Decimales
Todo número racional puede escribirse como fracción, o como su expresión decimal equivalente, que es la que se obtiene al dividir entre el numerador y el denominador, lo quepermite comparar sus expresiones decimales.

Al hacer esta división puede ocurrir que el cociente sea:
 
*Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales  
Los únicos divisoresdel denominador son 2 o 5

*Periódico puro: la parte decimal se repite indefinidamente (periodo).
Los números 2  o 5 no son divisores del denominador.

*Periódico mixto: la parte decimal estaformada por una parte que no se repite (ante periodo)
seguida del período.Los divisores  del denominador son 2 ó 5 y tiene además otros divisores.

Periodicidad de ciclo completo y de ciclo parcial

La división por 7 da lugar a números decimales con un período deseis dígitos, es el primero de los números que tienen la "periodicidad de ciclo completo", una característica bastante especial.
Veamos:

1 / 7 = 0,142857142857... entonces
1 / 7 = 0,142857
2/ 7 = 0,285714
5 / 7 = 0,714285

Es evidente que en todos los casos se repiten las cifras del período, sólo cambian de orden
es decir, cumplen un ciclo completo y cerrado.

Si probamos amultiplicar las cifras de este período resultante, 142857, por otros números, veremos que siempre se repiten estas cifras en una rotación.

    142857 x 2 = 285741  ;  142857 x 3 = 428571  ;  142857x 4 = 571428
    142857 x 5 = 714285  ;  142857 x 6 = 857142  ;  142857 x 7 = 999999

 Con el producto por 7 culmina la serie con 999999.

 Si se prueba con números mayores que 7, entoncesvuelve a salir la serie pero será necesario sumar la primera y la última cifra: 

142857 x 8 = 1142856  ;  142857 x 9 = 1285713

 Este cálculo no es una regularidad aislada, lo podemos encontrar...