Regularidades en tablas aritméticas

ESTUDIO DE ALGUNAS REGULARIDADES ENCONTRADAS EN LAS TABLAS ARITMÉTICAS

Por medio del presente trabajo se pretende exponer algunas conjeturas hechas y generalizadas por los suscritos autores, a partir de la observación de regularidades halladas en las tres diferentes tablas explicadas en clase, y que fueron las analizadas para la posterior construcción del trabajo. En el mismo, se hace unresumen que detalla de forma concisa en cada caso, el proceso por el cual se llegó a la conjetura y ésta misma de una forma generalizada como se verá más adelante.
En algunos casos para efectos prácticos, se realiza un apoyo gráfico en las tablas ya hechas para que sea posible una mejor forma de observación y comprensión acerca de la conclusión o conjetura a la que se llega. El trabajo se divide entres partes, cada una se corresponde con cada tabla analizada en el trabajo y en cada sección se presentan –como ya se dijo- las conjeturas realizadas.
En adelante se hace mención a números {k, n, p / ∀ k,n,p ∈N}
TABLA I.
Donde, la extensión de las filas se denomina k y la de las columnas se denomina n
  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
8 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 9 | 9 | 9 |
10 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 10 | 10 |
11 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 11 |
12 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
CONJETURA 01. La diagonal que inicia desde n=k=1, y se extiende hasta el caso n=k para cualquier k y n tales que pertenecen a los naturales (N), contiene a todos los númerosnaturales hasta k.
C.02 Para la fila k se encuentran todos los naturales hasta el término k
C.03 Cuando se realiza la tabla, se escriben todos los naturales en la fila k hasta que n=k y a partir de allí se repite el término k en la misma fila, para cualquier columna n.
C.04 Para la diagonal k=n donde el término k es el p número impar, se tiene que, la suma de los términos de la diagonal k =p2:
Diagonal(1)= 1 = 12; siendo 1 el primer primo
D(3) = 1 + 2 + 1 = 22; siendo 3 el segundo primo
D(5) = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32; siendo 5 el tercer primo
D(7) = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42; siendo 7 el cuarto primo
.
.
D(k) = p2 ; siendo k el p-ésimo primo

C. 05 Para la suma de la diagonal 2k se tiene que su resultado es: 2k entonces k (k+1)
k = 1; 2(1) = D(2) = 1 + 1 = 2 = 1(1 + 1);
k = 2; 2(2) = D(4) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6 = 2 (2 +1);
k = 5; 2(5) = D(10) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 30 = 5 (5+1);
.
.
k = n; 2(n) = D(2n) = n (n+1)
C. 06 Para la suma de la diagonal 2k dividida entre 2 se obtiene un número triangular:
k = 1; 2(1)...1+1 = 2/2 = 1, primer número triangular;
k = 2; 2(2)…1 + 2 + 2 + 1= 6/2 = 3, segundo número triangular
k = 3;2(3)…1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1= 12/2 = 6; tercer número triangular
.
.
2k……k(k+1)2 = Tk; donde Tk es el k-ésimo número triangular.
C. 07 Para la columna n, donde n = k la tabla se empieza a reflejar respecto a la diagonal citada en C. 01
C 08. Cuando el cuadrado es de lados n x k, donde n =k se tiene que la resta de la sumatoria de la fila k=2 con la sumatoria de la fila k=1 tiene como resultado(k-1):
k =5; Fila2 = 1 + 2 + 2 + 2 +2 = 9 Fila2 – Fila1 = 4 = 5 - 1;
Fila1 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
k = 4; F2 = 1 + 2 + 2 +2 = 7 F2 – F1 = 3 = 4 - 1;
F1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
k =10; F2 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 19 F2 – F1 = 9 = 10 - 1
F1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1= 10
k = n; F2 – F1 = (n – 1)
C 09. Para la tabla de lado n donde n = k se tiene que la resta de...