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MATEMATICAS DISCRETAS

Propiedad reflexiva

Sea R una relación binaria R en A, (A  ).
Definición:
Diremos que R es reflexiva si aA, a R a

Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: “x R y  x divide a y”
es reflexiva ya que xN, x R x porque x divide a x
2) En N la relación R definida por:
“a R b



a es el doble de b”.

no es reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de1

Propiedad reflexiva

Representación Cartesiana

Si la relación R es reflexiva
entonces la diagonal
pertenece a la relación.

A

A
Representación Sagital:

A

Si la relación R es reflexiva entonces
todo elemento tiene una flecha que
comienza y termina en sí mismo (un bucle).

Propiedad simétrica

Definición:
Diremos que R es simétrica si  a, b A: a R b  b R a

Ejemplo:
1) En Z la relación Rdefinida por: “a R b



a – b es múltiplo de 2”.

es simétrica ya que si a R b  hay pZ tal que a – b = 2p
 b – a = 2(-p) con -p  Z  b R a
2) En N la relación R definida por: “x R y  x divide a y”
no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2
por lo tanto (4,2) R

Propiedad simétrica

Representación Cartesiana
Si la relación R es simétrica
sobre A entonces los
paresrelacionados se reflejan
respecto a la diagonal
principal.

A

A

Representación Sagital:

A

Si la relación R es simétrica entonces
todo par de elementos que tiene una flecha
la tiene en las dos direcciones

Propiedad antisimétrica

Definición:
Diremos que R es antisimétrica si  a, b A: [a R b  b R a]  a = b
Otra manera de expresarlo: Si ab  [ (a,b)  R  (b,a)  R ]
Ejemplo:
1) En N larelación R definida por: “x R y  x divide a y” es antisimétrica
Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que:
b = an y a = bm. Combinándolas,

a = bm = (a.n).m  n.m = 1



n = m = 1  a = b.
2) En Z la relación R definida por: “a R b  a – b es múltiplo de 2”.
no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 24

Propiedad antisimétrica

Representación Cartesiana

A
Si la relación R esantisimétrica
pueden existir pares por encima o por
debajo de la diagonal pero ningún par
tiene reflejo respecto a la diagonal
principal excepto la diagonal misma.

A

Representación Sagital:

A

La relación R es antisimétrica si para cada
par de elementos distintos relacionados la
flecha está solo en un sentido

Propiedad Transitiva

Definición:
Diremos que R es transitiva si  a, b, c A: [a Rb  b R c]  a R c
Ejemplo:
1) En N la relación R definida por: “x R y  x divide a y”
es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que:
b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N 
b R c.
2)

En N la relación R definida por: “a R b



a es el doble de b”.

no es transitiva ya que (4, 2)  R y (2, 1)  R puesto que 4 es el doble de 2
y 2 es eldoble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1) R

Propiedad Transitiva

Representación Sagital:
La relación R es transitiva si cada vez que
hay un camino entre tres elementos,
también está la flecha que comienza en el
principio del camino y va al elemento que
es final del camino.

A

Cuadro Resumen

Completa la siguiente tabla:
Propiedad
R

Se satisface sii

Reflexiva

aA a R aSimétrica

 a, b A:
aRbbRa

Antisimétrica

 a, b A:
[a R b  b R a]  a = b

Transitiva

 a, b, c A:
[a R b  b R c]  a R c

No se satisface sii

Cuadro Resumen

Verifique:
Propiedad
R

Se satisface sii

No se satisface sii

Reflexiva

aA a R a

 aA (a,a)R

Simétrica

 a, b A:
aRbbRa

 a, b A:
(a, b)  R  (b, a)  R

Antisimétrica

 a, b A:
[a R b  b R a]  a = b

 a, b A:(a, b)  R  (b, a)  R  a  b

Transitiva

 a, b, c A:
[a R b  b R c]  a R c

 a, b, c A:
(a, b)  R  (b, c)  R  (a, c)  R

Ejercicios

Ejercicio 1:
Sea A = {1, 2, 3, 4}.
i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y
sagital.
ii) Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A y
verifíquelas (demuéstrelas)
a)
b)
c)
d)
e)

R = {...