relación de equivalencia

3.5.1 Introducción. Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. Considere una relación R definida en H de la siguiente manera:
Si x e y pertenecen a H, se dice que "x está en relacióncon y sí y sólo sí x es compatriota de y".
Con la anterior definición queda establecida la relación:

R = {(x, y) / x, y  H  "x es compatriota de y"}.



Esta relación es reflexiva puesto quetoda persona es compatriota de si mismo. Es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". Es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces xes compatriota de z".
Sea un elemento fijo de H. se denota por  el conjunto formado por los compatriotas de a, es decir: 
 = {x  H / x R a}.



a está formado por la población del país delcual es nativo a. Por ejemplo, si a es colombiano, 
 = {x  H / x es colombiano}.
Al individuo se le llama un "representante del conjunto a". Cualquier colombiano puede ser un representante. Eligiendolos diferentes representantes se obtiene la división de la humanidad en países. 

Si se toma otro elemento fijo b  H y se forma el conjunto :
= {x  H / x R b},
pueden ocurrir dos casos:

- Quea R b. En tal caso  = . 

- Que a b, y entonces  y son conjuntos disjuntos, es decir, países diferentes.



Siguiendo este proceso se obtienen tantos conjuntos como países existen. Se puedeverificar que cada conjunto es no vacío y que no existe intersección entre cada dos de ellos, además que la unión de todos ellos es el conjunto H. 

Una relación que produce sobre el conjunto en elcual se define una clasificación con las características anteriores, se llama relación de equivalencia. 

3.5.2 Definición. Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación deequivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A. 

Ejemplo 1.
A es una relación de equivalencia en A (A  0). 

Ejemplo 2.
La relación de paralelismo definida entre la rectas del...