Relación y función

Relación y Función

Usualmente, las palabras relación y función son utilizadas para indicar la dependencia de una cantidad respecto a otra. Las encontramos en diversas situaciones como las siguientes:
Formulas que permitan calcular longitudes, áreas y volúmenes:

Longitud | Área | Volumen |
L=2πr | A=πr2 | V=πrh |

Expresiones matemáticas en dos variables x, y dadasexplícitamente:
Función cuadrática | Función afín | Función trigonométrica |
y=x2 | y=mx+b | y=senx |

O dadas implícitamente:

| | |
x2+y2=1 | 2x+3y-5=0 | sen2 x+cos2y=1 |

Leyes en física biología y química:

PV= K (Ley de Boyle-Mariotte; P presión, V volumen, K constante)
F = Kx (Ley de Hooke; F fuerza, x elongación, k constante)
F = GMm/R2 (Ley de la gravitación deNewton; Fuerza, M y m masas, R distancia; G constante)
Otro ejemplo podría ser:
La relación de un determinado país que pertenece a un determinado continente. En este caso tenemos dos conjuntos, digamos “x” es el conjunto de todos los países e “y” es el conjunto formado por los cinco continentes y la relación de un elemento a de “x” con un elemento b de “y”, es la de que a sea un paíssituado en el continente b.
Una tal relación entre a y b podemos denotarla de la siguiente manera a R b donde R es para indicar que a esta relacionada con b.
Por ejemplo, Venezuela R América.
Tanto relación como función del conjunto “x” en el conjunto “y” se entienden habitualmente como sinónimos de “regla” o “correspondencia”. Así, en una forma descriptiva y práctica definimos funciónf de un conjunto “x” en un conjunto “y” como una regla que asigna a cada elemento ∈ a “x” un único elemento b ∈ “y”. El conjunto “x” se llama dominio de definición de f o simplemente dominio de la función f y el conjunto “y” que es el conjunto donde f toma valores es denominado codominio de f. Una función f de x en y se denota de alguna de las formas siguientes:
x f yf: x f f(x)
Ilustración de la función f mediante un diagrama:
x y

x f f(x)

Ejemplo de una relación:
g={1,3,2,5,3,7,4,9}
El diagramasagital correspondiente es:

A g B
12 |
34 |
56 |
78 |
910 |

1 |
2 |
3 |
4 |
5 |

“No es función porque el 5 no tiene imagen”
Es importante mencionar que, una función solo se reconoce como tal, cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen imagen en el conjunto de llegada ycuando cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el conjunto de llegada.
Ejemplo de función:
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |

1 |
2 |
3 |

Existen diferentes tipos de funciones y relaciones:
Las funciones pueden ser:
* Funciones inyectivas:
Si a cada imagen le corresponde una única preimagen. La función es inyectiva, además, si, y solo si, laecuación tiene a lo más una solución.
Ejemplo:

1 |
2 |
3 |
a |
b |
c |
|

* Funciones sobreyectivas:
Si la imagen de la función es igual al codominio. La función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
Ejemplo:
a |
b |
c |
d |

1 |
2 |
34 |

* Funciones biyectivas:
Una función quesea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva . La función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Ejemplo:

1 |
2 |
3 |
4 |
a |
b |
c |
|

Las relaciones pueden ser:
* Relación refleja (o reflexiva):

R es una relación refleja, si y sólo si, cada elemento de él está relacionado consigo mismo: a ð A ð...