Relacion De Ejercicios De Complejos

Matemáticas 1 1

RESUMEN TEORÍA: Números Complejos

Teoría: Números Complejos

Neces idad de ampliar el conjunto de los númer os r eales

D efinición El conjunto de los números complejos se define como el conjunto »2 con la suma y el producto complejo definido anteriormente. Es decir, » = ( » 2 , +, * ) . Adición de Complejos

Se define:
Ejemplo

(a

, b ) + (c , d ) = (a + c , b+ d )
, 3 + 8)

(2 , 3) + ( 3 , 8 ) = (2 + 3

Multiplicación de Complejos

Se define:

(a

, b ) * (c , d )

=

(a ⋅ c

- b ⋅d , a ⋅d

+ b ⋅ c)

2

Teoría: Números Complejos

Ejemplo

(3

 , 5 )*2 ,   

 1    2

=

 3 ⋅ 2 - 5 ⋅ 1    2

,

3⋅

1 2

+

 5 ⋅ 2    

=

 7 ,  2 

 23     2

Vamos a definir ahora losinversos para estas dos operaciones:

Inverso Aditivo (opuesto):

Dado

(a

, b)

su opuesto es: ( −a , - b )

Ejemplo: Entonces

( −2 , 5 )

su inverso

(2 ,

- 5 ) . Observar que:

( −2 , 5 ) + ( 2 ,
Inverso Multiplicativo:

- 5 ) = ( 0, 0 )

Dado

(a

, b ) ≠ ( 0, 0 )

 a  -b  su inverso es:  ,   2  a + b2 2 2   a +b 

Ejemplo: Entonces

( −2 , 5)

su inverso
 −2  29

 −2 −5   . Observar que:  ,       29 29  −5   = ( 1, 0 )    29 

( −2, 5 ) *   

,

Sustracción de complejos

La resta de dos complejos no es más que sumar al primero el opuesto del segundo

(a
Ejemplo

, b ) − (c , d )

=

(a

, b)

+

( −c

, −d )

=

(a − c

, b −d)

( 10

, 12 ) − ( 8 , 15 )

=

( 10

,12 )

+

( −8

, − 15 )

=

(2

, − 3)

División de complejos

El cociente de dos complejos no es más que multiplicar al primero el inverso del segundo siempre que éste no sea nulo

(a

, b ) / (c , d ) =  c = (a , b ) *     c2 + d 2

,

−d
c +d
2 2

     

=

 ac + bd bc − ad    ,   2  c + d2   c2 + d 2 

S

3

Teoría: Números ComplejosEjemplo

(1

, 2) / ( 3 , 4)

=

(1

3 −4   , 2) *  ,       25 25 

=

 11 2   ,       25 25 

Producto por un número de la forma:

( λ, 0 )
=

(λ
reales.

, 0 ) * (a , b )

=

( λ a − 0b

, 0a + λ b )

(λ a

, λb )

= λ (a , b )

Luego podemos identificar a los números con segunda componente cero con los números

(λ

, 0) ≡ λFor ma binómica

Hasta ahora hemos considerado los números complejos expresados en forma de “par ordenado” vamos a ver otra forma de expresar un número complejo. Llamemos unidad imaginaria i = ( 0, 1 ) es fácil ver que:

(a
Ejemplo: Entonces

, b)

=

(a, 0 ) + ( 0, b ) = (a, 0 ) + (b, 0 ) * ( 0,1) ≡ a + bi
5 +     6

  −9 ,   

su forma binómica es

−9

+

5 i 6Es fácil ver que i 2 = i * i = ( 0, 1 ) * ( 0, 1 ) = ( −1, 0 ) ≡ −1 .
Importante: Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las mismas reglas de las operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i2 = -1

Entonces

(a
y para la multiplicación:

+ bi ) + ( c + di ) = ( a + c

) + (b + d ) i

(a

+ bi ) ( c + di ) = ac + adi + bic + bdi 2 = ac − bd + (ad + bc ) i

4

Teoría: Números Complejos

Con esta nueva notación podemos escribir » = {a + bi / a, b ∈ » } Dado un número complejo z = a + bi se llama parte real de z al valor real Re ( z ) = a y
parte imaginaria al valor real Im ( z ) = b . Por lo tanto,

z = Re ( z ) + i Im ( z )
Si la parte real de un número complejo es cero se le llama Imaginario puro y si es cero la parteimaginaria se trata de un número real.
a + bi → si
     b = 0 

a = 0 ⇒ 0 + bi ⇒ a + 0i = a

=

bi

Im aginario Puro Que representa un N ° Re al

Repr es entación gr áfica de númer os complejos

Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano, haciendo corresponder a cada número complejo,...