Relacion de equivalencia

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
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Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:REFLEXIVIDAD: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,
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SIMETRÍA: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con elprimero. Es decir,
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TRANSITIVIDAD: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con esteúltimo. Es decir,
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Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado [pic].
CLASES DE EQUIVALENCIA
La relación de equivalencia [pic]define subconjuntosdisjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento[pic], al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a
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Se le llama la clase de equivalenciaasociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.
Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es deorden finito.
El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones deequivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos
CONJUNTO COCIENTE
El conjunto de todas las clases de equivalencia sedenomina conjunto cociente y se lo suele denotar como:
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Tal como muestra la definición anterior el conjunto cociente es un subconjunto del conjunto de partes de K.

RELACIÓN DE ORDEN TOTALSea A un conjunto dado, [pic]es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de A se relacionan entre sí, es decir,
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0. Ejemplo [pic]es totalmente ordenado. En efecto,...