Relacion Equivalencia Ejercicios Resueltos

Enunciado 1

Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb ⇔a + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea.
Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 1
Para comprobar que la relación dada en el enunciado es de equivalencia hacemos :
Propiedad reflexiva
∀a∈Z⇒aRa
ya que a+a = 2 a que es múltiplo de 2.

Propiedad simétrica : Si aRbentonces a+b es múltiplo de 2, pero a+b = b+a y, por lo tanto b+a es múltiplo de 2, esto es bRa.

Propiedad transitiva : Si aRb y bRc entonces a+b es múltiplo de 2 y b+c es múltiplo de 2. De ahí a+b+b+c = a + 2b + c es múltiplo de 2 y trivialmente a+c es múltiplo de 2 puesto que 2b siempre es múltiplo de 2. Por todo ello, aRc.
La relación así definida si es de equivalencia y el conjunto cociente esZ/R = {pares , impares}
Enunciado 2

Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d) ⇔ a² + b² = c² + d² es de equivalencia y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.
Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 2
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es de equivalencia :
Propiedad reflexiva :
∀(a,b)∈R×R⇒(a,b)R(a,b)∴a2+b2=a2+b2
Propiedad simétrica : Si(a,b)R(c,d) entonces (c,d)R(a,b) puesto que :
(a,b)R(c,d)∴a2+b2=c2+d2⇒c2+d2=a2+b2∴(c,d)R(a,b)
Propiedad transitiva : Si (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) entonces (a,b)R(e,f) puesto que :
a2+b2=c2+d2c2+d2=e2+f2⎫⎭⎬⇒a2+b2=c2+d2=e2+f2⇒


⇒a2+b2=e2+f2⇒(a,b)R(e,f)
La relación definida de ese modo en RxR es de equivalencia y el conjunto cociente RxR/R será el formado por las circunferencias del plano concentro en el origen.
Enunciado 3

Probar que la relación R reflexiva y circular definida sobre E es simétrica y transitiva. En una relación circular, si aRb y bRc entonces cRa.
Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 3

Para demostrar lo dicho en el enunciado, tenemos que demostrar las siguientes propiedades

Propiedad reflexiva,
se cumple por hipótesis
Propiedad simétrica,
si aRb entoncesbRa por ser R reflexiva (aRa y bRb) y circular (aRb y bRb) y entonces bRa
Propiedad transitiva,
debe cumplirse que si aRb y bRc entonces aRc y tenemos que, por ser R circular, aRb y bRc da cRa y, por ser R simétrica (demostrado) si cRa entonces aRc.
Por todo lo visto, la relación estudiada es de equivalencia.
Enunciado 4

En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :aRb⇔a+n=b,siendon∈N∪{0}
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación.
Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.
Ejercicios de álgebra
Respuesta al ejercicio 4
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es relación de orden.

Propiedad reflexiva,
∀a∈N⇒aRayaquea+0=a
Propiedad antisimétrica. SiaRb y bRa entonces a = b . Tenemos
aRb⇒a+n=b;a−b=−nbRa⇒b+n=a;b−a=−n⎫⎭⎬⇒a−b=b−a⇒2a=2b⇒a=b
Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :
aRb⇒a+n=bbRc⇒b+n=c⎫⎭⎬⇒a+n=c−n⇒a+n+n=c⇒


⇒a+2n=c⇒aRc(2n∈N)
La relación así definida es de orden total porque en la relación de orden usual se cumple :
∀a∈N∃b∈N/b≥a⇒∃n∈N∪{0}/a+n=b
La relación así definida posee también buena ordenación, porque Nadmite primer elemento :
/∃aR1≠1/a+n=1
haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque N está incluido en Z. La relación es de orden total porque ∀a∈Z∃b∈z/b≥a , por la relación de orden usual, y, por tanto, ∃n∈Z/a+n=b.

La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo, ya que ∀a∈Z∃bRa/b+n=a
Enunciado 5

En elconjunto N de los números naturales, considérese la relación de divisibilidad x/y en la forma :
x/y⇔∃nt.q.y=n⋅x
a) Ver que tipo de ordenación es
b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo superior e inferior.
c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación de divisibilidad, es un retículo.
d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo y...